sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.

   • si un employé mange au « self » un jour donné, alors le lendemain il y mange également avec une probabilité de 0,8 ;
   • si un employé mange dans le restaurant « traditionnel » un jour donné, alors le lendemain il change pour le « self » avec une probabilité de 0,4.

   D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

2. Justifier l'égalité matricielle $P_{n+1}=P_n\times M$ où M désigne la matrice $\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$ et n un entier naturel non nul.

   La matrice de transition M de ce graphe telle que $P_{n+1}=P_n\times M$ est : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$.

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3. Déterminer la probabilité que l'employé tiré au sort mange au « self » le deuxième jour.

   $$\begin{array}{ccccc}{P}_2=P_1\times M& \text{Soit}& P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,5}& \mathrm{0,5}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)\hfill & \iff & P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

   La probabilité qu'un employé mange au « self » le deuxième jour est 0,6.

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4. Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter.

   Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$ indépendant de l'état initial.

   Nous avons $P=PM$ et $x+y=1$ alors $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)\end{array}$ avec $x+y=1$. D'où x et y sont solutions du système $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,8}x+\mathrm{0,4}y\\ y& =& \mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}y\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}y& =& 0\\ -\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}\end{array}$$

   Soit x et y solutions du système $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,6}x& =& \mathrm{0,4}\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\end{array}$$

   L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$. Sur le long terme, deux tiers des employés mangent chaque jour au « self ».

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5. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, on a : $s_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{5}}{s}_n+{\displaystyle \frac{2}{5}}$

   Pour tout entier naturel n non nul, $P_{n+1}=P_n\times M$ soit $\left(\begin{array}{cc}{s}_{n+1}& t_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{s}_n& t_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$ avec $s_n+t_n=1$ : $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rcl}{s}_{n+1}& =& \mathrm{0,8}{s}_n+\mathrm{0,4}{t}_n\\ t_{n+1}& =& \mathrm{0,2}{s}_n+\mathrm{0,6}{t}_n\\ s_n+t_n& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}{s}_{n+1}& =& \mathrm{0,8}{s}_n+\mathrm{0,4}\times \left(1-s_n\right)\\ t_{n+1}& =& \mathrm{0,2}{s}_n+\mathrm{0,6}{t}_n\\ t_n& =& 1-s_n\end{array}\end{array}$$

   D'où pour tout entier naturel n non nul, $$\begin{array}{ccc}{s}_{n+1}=\mathrm{0,8}{s}_n-\mathrm{0,4}{s}_n+\mathrm{0,4}& \iff & s_{n+1}=\mathrm{0,4}{s}_n+\mathrm{0,4}\end{array}$$

   Ainsi, pour tout entier naturel n non nul, $s_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{5}}{s}_n+{\displaystyle \frac{2}{5}}$

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6. Dans la suite, pour tout entier naturel n non nul, on pose : $u_n=s_n-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ et de premier terme $u_1=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$.

      Pour tout entier n non nul, $$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}& =& s_{n+1}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{5}}{s}_n+{\displaystyle \frac{2}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{5}}{s}_n-{\displaystyle \frac{4}{15}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{5}}\times \left(s_n-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{5}}\times u_n\end{array}$$

      Pour tout entier n non nul, $u_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{5}}\times u_n$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{2}{5}}$.

      Calculons le premier terme de la suite $\left(u_n\right)$ : $$\begin{array}{ccc}{u}_1=s_1-{\displaystyle \frac{2}{3}}& \text{Soit}& u_1={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}$$

      Ainsi, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ et de premier terme $u_1=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$.

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   2. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de n, où n est un entier naturel non nul.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ et de premier terme $u_1=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$ donc :

      Pour tout entier n non nul, $u_n=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-1}$.

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   3. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, $s_n=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n+1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}$

      Pour tout entier naturel n non nul, $u_n=s_n-{\displaystyle \frac{2}{3}}\iff s_n=u_n+{\displaystyle \frac{2}{3}}$

      Donc, pour tout entier n non nul, $s_n=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

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   4. Déterminer la limite de la suite $\left(s_n\right)$ quand n tend vers $+\infty$ et interpréter ce résultat.

      $0<{\displaystyle \frac{2}{5}}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-1}=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }-{\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

      La suite $\left(s_n\right)$ converge vers ${\displaystyle \frac{2}{3}}$. On retrouve le résultat de la question 4 : sur le long terme, deux tiers des employés mangent chaque jour au « self ».

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