sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2012

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. On a tracé ci-dessous le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. Expliquer pourquoi un ajustement affine ne semble pas justifié.

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   Les points ne sont pas presque alignés, un ajustement affine n'est pas justifié.

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2. Une première modélisation : ajustement exponentiel
   Pour $0⩽i⩽6$, on pose $z_i=\ln y_i$

   1. Recopier le tableau ci-dessous et le compléter avec les valeurs $z_i$, arrondies au centième.

      Rang de l'année $x_i$	0	1	2	3	4	5	6
      $z_i=\ln y_i$	− 0,8	− 0,04	0,51	1,01	1,5	2,45	3,27

   2. À l'aide de la calculatrice, et en utilisant les données du tableau ci-dessus, donner une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés, sous la forme $z=ax+b$ (les coefficients seront arrondis au millième).

      La droite d'ajustement de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés, a pour équation $z=\mathrm{0,649}x-\mathrm{0,819}$. (coefficients arrondis au millième)

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   3. En déduire une approximation des coûts y, en milliards, sous la forme $y=A{\mathrm{e}}^{Bx}$ où les coefficients A et B seront arrondis au centième.

      $z=\mathrm{0,649}x-\mathrm{0,819}$ et, pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y={\mathrm{e}}^z$ donc $$\begin{array}{ccc}y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,649}x-\mathrm{0,819}}& \iff & y={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,819}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,649}x}\hfill \end{array}$$ Soit avec des coefficients A et B arrondis au centième $y=\mathrm{0,44}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,65}x}$

      Une estimation des coûts y, en milliards en fonction du rang x de l'année est $y=\mathrm{0,44}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,65}x}$

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   4. On suppose que cette modélisation reste acceptable jusqu'en 2012. Quelle estimation des coûts peut-on alors faire pour les Jeux Olympiques de Londres de 2012 (le résultat sera arrondi au milliard).

      Le rang de l'année 2012 est 7 et :$$\mathrm{0,44}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,65}\times 7}\approx \mathrm{41,6}$$

      Selon cet ajustement, les coûts des Jeux Olympiques de Londres approcheraient les 42 milliards d'euros.

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3. Une deuxième modélisation :

   1. Trouver le pourcentage d'augmentation des coûts entre 1984 et 1988.

      $${\displaystyle \frac{\mathrm{0,796}-\mathrm{0,45}}{\mathrm{0,45}}}\times 100\approx 113$$

      Entre 1984 et 1988, les coûts ont augmentés de plus de 113 %.

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   2. Justifier qu'entre 1984 et 2008 le pourcentage moyen d'augmentation par olympiade (période de 4 ans), arrondi à l'unité, est de 97 %.

      Soit t % le pourcentage moyen d'augmentation par olympiade entre 1984 et 2008 : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,45}\times {\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^6=\mathrm{26,3}& \iff & {\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^6={\displaystyle \frac{\mathrm{26,3}}{\mathrm{0,45}}}\hfill \\ & \iff & 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{26,3}}{\mathrm{0,45}}}\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{6}}}\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{26,3}}{\mathrm{0,45}}}\right)}^{\frac{1}{6}}-1\hfill \\ & \text{Soit}& {\displaystyle \frac{t}{100}}\approx \mathrm{0,97}\hfill \end{array}$$

      Entre 1984 et 2008 le pourcentage moyen d'augmentation par olympiade est de 97 %.

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   3. Si cette évolution des coûts continue suivant la même progression, donner une estimation des coûts pour les Jeux Olympiques de Londres en 2012 (le résultat sera arrondi au milliard).

      $$\mathrm{26,3}\times \mathrm{1,97}=\mathrm{51,811}$$

      Avec une augmentation des coûts de 97 %, les Jeux Olympiques de Londres approcheraient les 52 milliards d'euros.

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4. Un journal anglais a déclaré que les coûts des Jeux Olympiques de Londres approcheraient les 45 milliards d'euros. Laquelle des deux modélisations semble la plus cohérente avec cette affirmation ?

   Le modèle exponentiel est le plus proche de l'estimation donné par le journal.

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