sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2012

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.
Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Aucune justification n'est attendue.

On considère la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^x$

1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f. Pour tout réel x on a :

   f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^x+x{\mathrm{e}}^x\hfill \\ & =& \left(x+1\right){\mathrm{e}}^x\hfill \end{array}$$

   a.  $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x$

   b.  $f\prime \left(x\right)=\left(x-1\right){\mathrm{e}}^x$

   c.  $f\prime \left(x\right)=\left(x+1\right){\mathrm{e}}^x$

2. Le nombre de solutions réelles de l'équation $f\left(x\right)=2x$ est :

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}x{\mathrm{e}}^x=2x& \iff & x{\mathrm{e}}^x-2x=0\hfill \\ & \iff & x\left({\mathrm{e}}^x-2\right)=0\hfill \\ & \iff & x=0\text{ ou }{\mathrm{e}}^x-2=0\hfill \\ & \iff & x=0\text{ ou }{\mathrm{e}}^x=2\hfill \\ & \iff & x=0\text{ ou }x=\ln 2\hfill \end{array}$$

   L'équation $f\left(x\right)=2x$ admet deux solutions

   a.  0

   b.  1

   c.  2

3. La valeur exacte de $f\left(-\ln 2\right)$ est :

   $$\begin{array}{ccc}f\left(-\ln 2\right)& =& \left(-\ln 2\right)\times {\mathrm{e}}^{-\ln 2}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-\ln 2}{{\mathrm{e}}^{\ln 2}}}\hfill \\ & =& -{\displaystyle \frac{\ln 2}{2}}\hfill \end{array}$$

   a.  $2\ln 2$

   b.  $-{\displaystyle \frac{\ln 2}{2}}$

   c.  $-\mathrm{0,346}$

4. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique d'une primitive de la fonction f. Laquelle ?

   Dire que F est une primitive de la fonction f signifie que pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe $f\left(x\right)$.

   Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc $f\left(x\right)$ est du même signe que x. D'où le tableau des variations de la fonction f :

   x	$-\infty$		1		$+\infty$
   $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $F\left(x\right)$

   ---

   La courbe b est la seule des trois courbes qui convienne.

   a.

   b.

   c.

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