Baccalauréat session 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2012

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Afin d'être performant lors d'une grande compétition, Christophe, champion d'athlétisme spécialiste du sprint, s'entraine chaque jour de l'année et réalise quotidiennement une course à pleine vitesse sur 100 mètres en tentant de courir en moins de 10 secondes.
On constate que :

  • S'il réalise moins de 10 secondes sur 100 mètres un jour, la probabilité qu'il réalise moins de 10 secondes sur 100 mètres le lendemain est égale à 0,75.
  • S'il ne réalise pas moins de 10 secondes sur 100 mètres un jour, la probabilité qu'il réalise moins de 10 secondes sur 100 mètres le lendemain est égale à 0,5.

Le premier jour de l'année, Christophe n'a pas réussi à réaliser moins de 10 secondes sur sa course à pleine vitesse.

Soit n un entier naturel non nul. On note :

  • an, la probabilité que Christophe réalise moins de 10 secondes le n-ième jour.
  • bn, la probabilité que Christophe ne réalise pas moins de 10 secondes le n-ième jour.
  • Pn=(anbn), la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le n-ième jour.
  1. Écrire la matrice ligne P1 de l'état probabiliste initial.

    Le premier jour de l'année, Christophe n'a pas réussi à réaliser moins de 10 secondes sur sa course à pleine vitesse, d'où a1=0 et b1=1

    La matrice ligne de l'état probabiliste initial est P1=(01)


  2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l'état « Christophe réalise moins de 10 secondes au 100 mètres », B représentant l'état « Christophe ne réalise pas moins de 10 secondes au 100 mètres »).

    • S'il réalise moins de 10 secondes sur 100 mètres un jour, la probabilité qu'il réalise moins de 10 secondes sur 100 mètres le lendemain est égale à 0,75 ;
    • S'il ne réalise pas moins de 10 secondes sur 100 mètres un jour, la probabilité qu'il réalise moins de 10 secondes sur 100 mètres le lendemain est égale à 0,5.

    D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

    Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique.

    La matrice de transition M de ce graphe telle que Pn+1=Pn×M est : M=(0,750,250,50,5).


  4. Déterminer la matrice ligne P3. Comment peut-on interpréter ce résultat pour Christophe ?

    P3=P1×M2SoitP3=(01)×(0,750,250,50,5)2P3=(0,6250,375)

    La probabilité que Christophe réalise moins de 10 secondes le troisième jour est 0,625.


  5. Soit P=(ab) la matrice ligne traduisant l'état probabiliste stable.

    1. Justifier que a et b vérifient le système {0,25a-0,5b=0a+b=1

      Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état Pn converge vers un état stable P=(ab) avec a+b=1 indépendant de l'état initial.

      Nous avons P=PM et a+b=1 alors (ab)=(ab)×(0,750,250,50,5) avec a+b=1. D'où a et b sont solutions du système {a=0,75a+0,5bb=0,25a+0,5ba+b=1{0,25a-0,5b=0-0,25a+0,5b=0a+b=1

      L'état stable du système est P=(ab) avec a et b solutions du système {0,25a-0,5b=0a+b=1.


    2. Lors d'une interview à un journaliste sportif, Christophe déclare : « Au vu de tous les entrainements effectués pour me préparer à ce grand évènement je suis confiant et je pense avoir deux chances sur trois de pouvoir réaliser moins de 10 secondes sur 100 mètres lors de la compétition ».
      Cette affirmation vous paraît-elle justifiée ?

      a et b solutions du système {0,25a-0,5b=0a+b=1{0,75a=0,5a+b=1{a=23b=13

      L'état stable du système est P=(2313) donc l'affirmation de Christophe est justifiée.



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