Afin d'être performant lors d'une grande compétition, Christophe, champion d'athlétisme spécialiste du sprint, s'entraine chaque jour de l'année et réalise quotidiennement une course à pleine vitesse sur 100 mètres en tentant de courir en moins de 10 secondes.
On constate que :
Le premier jour de l'année, Christophe n'a pas réussi à réaliser moins de 10 secondes sur sa course à pleine vitesse.
Soit n un entier naturel non nul. On note :
Écrire la matrice ligne de l'état probabiliste initial.
Le premier jour de l'année, Christophe n'a pas réussi à réaliser moins de 10 secondes sur sa course à pleine vitesse, d'où et
La matrice ligne de l'état probabiliste initial est
Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l'état « Christophe réalise moins de 10 secondes au 100 mètres », B représentant l'état « Christophe ne réalise pas moins de 10 secondes au 100 mètres »).
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
Écrire la matrice de transition M de ce graphe en considérant les états dans l'ordre alphabétique.
La matrice de transition M de ce graphe telle que est : .
Déterminer la matrice ligne . Comment peut-on interpréter ce résultat pour Christophe ?
La probabilité que Christophe réalise moins de 10 secondes le troisième jour est 0,625.
Soit la matrice ligne traduisant l'état probabiliste stable.
Justifier que a et b vérifient le système
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état converge vers un état stable avec indépendant de l'état initial.
Nous avons et alors avec . D'où a et b sont solutions du système
L'état stable du système est avec a et b solutions du système .
Lors d'une interview à un journaliste sportif, Christophe déclare : « Au vu de tous les entrainements effectués pour me préparer à ce grand évènement je suis confiant et je pense avoir deux chances sur trois de pouvoir réaliser moins de 10 secondes sur 100 mètres lors de la compétition ».
Cette affirmation vous paraît-elle justifiée ?
a et b solutions du système
L'état stable du système est donc l'affirmation de Christophe est justifiée.
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