sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2012

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur $\left[3;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{x+5\ln x}}$.

1. On rappelle que $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=0$. Montrer que la limite de la fonction f en $+\infty$ est égale à 1.

   Pour tout réel $x>0$, $$\begin{array}{ccccc}{\displaystyle \frac{x}{x+5\ln x}}& =& {\displaystyle \frac{x}{x\times \left(1+5\times {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}\right)}}& =& {\displaystyle \frac{1}{1+5\times {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}}}\end{array}$$

   Or $\underset{x\to +\infty }{\lim }1+5\times {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=1$. Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$.

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2. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que pour tout x de l'intervalle $\left[3;+\infty \right[$ on a $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{5\left(\ln x-1\right)}{{\left(x+5\ln x\right)}^2}}$.

   f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[3;+\infty \right[$ : $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)=x+5\ln x\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=1+{\displaystyle \frac{5}{x}}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[3;+\infty \right[$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{x+5\ln x-x\times \left(1+{\displaystyle \frac{5}{x}}\right)}{{\left(x+5\ln x\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{x+5\ln x-x-5}{{\left(x+5\ln x\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{5\ln x-5}{{\left(x+5\ln x\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[3;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{5\left(\ln x-1\right)}{{\left(x+5\ln x\right)}^2}}$.

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3. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur $\left[3;+\infty \right[$ et dresser le tableau de variations de la fonction f sur cet intervalle.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   Pour tout réel $x>1$, ${\left(x+5\ln x\right)}^2>0$ donc sur l'intervalle $\left[3;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\ln x-1$. Or $$\begin{array}{ccc}\ln x-1⩾0& \iff & x⩾\mathrm{e}\end{array}$$

   Ainsi, sur l'intervalle $\left[3;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)>0$ donc la fonction f est strictement croissante.

   ---

   D'où le tableau de variation de la fonction f :

   x	3		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		+
   $f\left(x\right)$	${\displaystyle \frac{3}{3+5\ln 3}}$		1

   ---

4. Montrer que sur l'intervalle $\left[3;50\right]$ l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ possède une unique solution α puis, à l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à l'entier supérieur par excès de α.

   Nous avons $f\left(3\right)={\displaystyle \frac{3}{3+5\ln 3}}\approx \mathrm{0,353}$ et $f\left(50\right)={\displaystyle \frac{50}{50+5\ln 50}}={\displaystyle \frac{10}{10+\ln 50}}\approx \mathrm{0,719}$

   Sur l'intervalle $\left[3;50\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f\left(3\right)<\mathrm{0,5}<f\left(50\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ admet une unique solution $\alpha \in \left[3;50\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx 13$

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partie b

L'organisation chargée de vendre les billets pour assister aux différentes épreuves d'un grand évènement sportif a mis en vente ces billets environ deux ans avant le début officiel des épreuves.
Une étude, portant sur la progression des ventes de ces billets, à partir du troisième jour de mise en vente, a permis de modéliser l'évolution des ventes des billets selon la fonction f étudiée dans la partie A.
La proportion des ventes effectuées par rapport à l'ensemble des billets x jours après le début de la mise en vente, est donnée par la valeur $f\left(x\right)$, arrondie au millième, pour tout x entier de l'intervalle $\left[3;700\right]$.
Ainsi la valeur approchée de $f\left(3\right)$, arrondie au millième, est 0,353 ; cela signifie que trois jours après le début de la mise en vente des billets, 35,3 % des billets étaient déjà vendus.

1. En utilisant la partie A, déterminer le nombre de jours nécessaires à la vente de 50 % de l'ensemble des billets.

   Sur l'intervalle $\left[3;50\right]$, la fonction f est strictement croissante et $f\left(\alpha \right)=\mathrm{0,5}$. Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle $\left[3;\alpha \right]$ on a $f\left(x\right)⩽\mathrm{0,5}$. D'après le résultat de la question 4, on en déduit :

   13 jours seront nécessaires pour vendre 50 % de l'ensemble des billets.

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2. On considère l'algorithme suivant (la fonction f est celle qui est définie dans la partie A).

   Initialisation : Affecter à X la valeur 3. Affecter à Y la valeur $f\left(X\right)$.

   Saisie : Afficher « Entrer un nombre P compris entre 0 et 1 ». Lire P.

   Traitement : Tant que $Y<P$ Affecter à X la valeur $X+1$. Affecter à Y la valeur $f\left(X\right)$. Fin du Tant que

   Sortie : Afficher X.

   1. Si l'utilisateur de cet algorithme choisit 0,9 comme valeur de P, la valeur de sortie de l'algorithme est 249. Que signifie ce résultat pour les organisateurs ?

      Cet algorithme détermine le plus petit entier n tel que $f\left(n\right)⩾P$. Donc si la valeur de sortie de l'algorithme est 249 cela signifie que :

      249 jours après le début de la mise en vente des billets, 90 % des billets seront vendus.

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   2. Si l'utilisateur de cet algorithme choisit 0,5 comme valeur de P, quelle valeur de X apparaîtra à la sortie de l'algorithme ?

      La valeur obtenue à la sortie de l'algorithme est le plus petit entier n tel que $f\left(n\right)⩾\mathrm{0,5}$.

      Si l'utilisateur choisit 0,5 comme valeur de P, la valeur de sortie de l'algorithme est 13.

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