sujet : Asie 2013

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.
Une bonne réponse rapporte 1 point . Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

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1. On choisit au hasard un réel de l'intervalle $\left[-2;5\right]$. Quelle est la probabilité que ce nombre appartienne à l'intervalle $\left[-1;1\right]$ ?

   Soit X la variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $\left[-2;5\right]$ : $$P\left(-1⩽X⩽1\right)={\displaystyle \frac{1-\left(-1\right)}{5-\left(-2\right)}}={\displaystyle \frac{2}{7}}$$

   a.   ${\displaystyle \frac{1}{5}}$

   b.   ${\displaystyle \frac{2}{7}}$

   c.   ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

   d.   0,7

2. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 3 et d'écart type 2. Quelle est la valeur arrondie au centième de la probabilité $P\left(X⩽1\right)$ ?

   • méthode 1 :

     La calculatrice permet de déterminer la probabilité $P\left(a⩽X⩽b\right)$ quand X suit la loi normale de moyenne de moyenne 3 et d'écart type 2 : $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩽1\right)& =& P\left(X⩽3\right)-P\left(1⩽X⩽3\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(1⩽X⩽3\right)\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,16}\hfill \end{array}$$

   • méthode 2 :

     Si la loi de probabilité de la variable aléatoire X est la loi normale de moyenne μ et d'écart type σ alors $P\left(\mu -\sigma ⩽X⩽\mu +\sigma \right)\approx \mathrm{0,68}$.

     D'où $P\left(1⩽X⩽5\right)\approx \mathrm{0,68}$ : $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩽1\right)& =& P\left(X⩽3\right)-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times P\left(1⩽X⩽5\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}-\mathrm{0,34}\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,16}\hfill \end{array}$$

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   a.   0,16

   b.   0,68

   c.   0,95

   d.   0,99

3. Quelle courbe représente la fonction de densité d'une variable aléatoire X qui suit la loi normale $𝒩\left(0;1\right)$ ?

   Dire qu'une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite signifie que sa fonction de densité f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$

   Or $f\left(0\right)\approx \mathrm{0,399}$ donc la courbe c est la seule susceptible de représenter la fonction de densité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale $𝒩\left(0;1\right)$

   a .

   b.

   c.

   d.

4. Lors d'un sondage avant une élection, on interroge 800 personnes (constituant un échantillon représentatif). 424 d'entre elles déclarent qu'elles voteront pour le candidat H.
   Soit p la proportion d'électeurs de la population qui comptent voter pour H. Lequel des intervalles ci-dessous est un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion p ?

   La fréquence f de personnes favorables au candidat H est : $f={\displaystyle \frac{424}{800}}=\mathrm{0,53}$

   Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion p d'électeurs de la population qui comptent voter pour H est : $$\left[\mathrm{0,53}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{800}}};\mathrm{0,53}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{800}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,49};\mathrm{0,57}\right]$$

   a.   $\left[\mathrm{0,46};\mathrm{0,60}\right]$

   b.   $\left[\mathrm{0,48};\mathrm{0,58}\right]$

   c.   $\left[\mathrm{0,49};\mathrm{0,57}\right]$

   d.   $\left[\mathrm{0,51};\mathrm{0,55}\right]$

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