sujet : Asie 2013

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Le gestionnaire d'une salle de concert constate que, chaque année, le nombre d'abonnés est constitué de 70 % des abonnés de l'année précédente, auxquels s'ajoutent 210 nouveaux abonnés.
Le nombre d'abonnés en 2010 était de 600.

1. Calculer le nombre d'abonnés en 2011 et 2012.

   • Nombre d'abonnés en 2011 : $$600\times \mathrm{0,7}+210=630$$

   • Nombre d'abonnés en 2012 : $$630\times \mathrm{0,7}+210=651$$

   Le nombre d'abonnés était de 630 en 2011 et de 651 en 2012.

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2. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par : $u_0=600$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,7}{u}_n+210$. On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite $\left(u_n\right)$.

   	A	B
   1	n	$u_n$
   2	0	600
   3	1
   4	2
   5	3
   6	4
   7	5
   8	6
   9	7

   Proposer une formule à écrire en B3 pour calculer $u_1$ ; cette formule « tirée vers le bas » dans la colonne devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite $\left(u_n\right)$.

   Avec les notations usuelles d'un tableur, la formule saisie en B3 est : "=0.7*B2+210".

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3. On pose, pour tout entier naturel n : $v_n=u_n-700$.

   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 0,7. Préciser son premier terme.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-700\hfill \\ & =& \mathrm{0,7}{u}_n+210-700\hfill \\ & =& \mathrm{0,7}{u}_n-490\hfill \\ & =& \mathrm{0,7}\times \left(u_n-700\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,7}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Pour tout entier n, $v_{n+1}=\mathrm{0,7}{v}_n$ alors la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,7.

      Calculons le premier terme de la suite $\left(v_n\right)$ : $$\begin{array}{ccc}{v}_0=u_0-700& \text{Soit}& v_0=600-700=-100\end{array}$$

      Ainsi, la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,7 et de premier terme $v_0=-100$.

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   2. Justifier que pour tout entier naturel n, $u_n=700-100\times {\mathrm{0,7}}^n$.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,7 et de premier terme $v_0=-100$ alors, pour tout entier naturel n, $v_n=-100\times {\mathrm{0,7}}^n$.

      Comme pour tout entier n, $v_n=u_n-700$ alors $u_n=v_n+700$.

      Donc pour tout entier n, $u_n=700-100\times {\mathrm{0,7}}^n$.

      ---

4. 1. Soit n un entier naturel. Démontrer que $u_n⩾697$ est équivalent à ${\mathrm{0,7}}^n⩽\mathrm{0,03}$.

      $$\begin{array}{ccc}{u}_n⩾697& \iff & 700-100\times {\mathrm{0,7}}^n⩾697\hfill \\ & \iff & -100\times {\mathrm{0,7}}^n⩾-3\hfill \\ & \iff & {\mathrm{0,7}}^n⩽\mathrm{0,03}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $u_n⩾697\iff {\mathrm{0,7}}^n⩽\mathrm{0,03}$

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   2. Pour résoudre cette inéquation, on utilise l'algorithme suivant :

      Variables :	N est un nombre entier naturel
      Initialisation :	Affecter à N la Valeur 0 Affecter à U la valeur 1
      Traitement :	Tant que $U>\mathrm{0,03}$ Affecter à N la valeur N + 1 Affecter à U la valeur 0,7 × U Fin du Tant que
      Sortie	Afficher N.

      Quelle valeur de N obtient-on en sortie ? (On fera tourner l'algorithme).

      La traduction en programme sur la calculatrice est :

      Texas	Casio
      : 0 → N : 1 → U : While U > 0.03 : N+1 → N : 0.7 * U → U : End : Disp N	0 → N ↵ 1 → U ↵ While U > 0.03 ↵ N+1 → N ↵ 0.7 * U → U ↵ WhileEnd ↵ U ◢

      ---

      La calculatrice affiche 10.

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   3. Retrouver ce résultat en résolvant l'inéquation ${\mathrm{0,7}}^n⩽\mathrm{0,03}$.

      $$\begin{array}{cccc}{\mathrm{0,7}}^n⩽\mathrm{0,03}& \iff & \ln \left({\mathrm{0,7}}^n\right)⩽\ln \mathrm{0,03}\hfill & \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\ln \mathrm{0,7}⩽\ln \mathrm{0,03}\hfill & \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,03}}{\ln \mathrm{0,7}}}\hfill & \ln \mathrm{0,7}<0\end{array}$$

      Comme ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,03}}{\ln \mathrm{0,7}}}\approx \mathrm{9,8}$, le plus petit entier n tel que ${\mathrm{0,7}}^n⩽\mathrm{0,03}$ est 10.

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   4. En utilisant l'étude précédente de la suite $\left(u_n\right)$, déterminer à partir de quelle année le nombre d'abonnés atteindra au moins 697.

      D'après l'équivalence $u_n⩾697\iff {\mathrm{0,7}}^n⩽\mathrm{0,03}$, c'est à partir de 2020 que le nombre d'abonnés atteindra au moins 697.

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