Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Asie 2013

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Le gestionnaire d'une salle de concert constate que, chaque année, le nombre d'abonnés est constitué de 70 % des abonnés de l'année précédente, auxquels s'ajoutent 210 nouveaux abonnés.
Le nombre d'abonnés en 2010 était de 600.

  1. Calculer le nombre d'abonnés en 2011 et 2012.

    • Nombre d'abonnés en 2011 : 600×0,7+210=630

    • Nombre d'abonnés en 2012 : 630×0,7+210=651

    Le nombre d'abonnés était de 630 en 2011 et de 651 en 2012.


  2. On définit la suite un par : u0=600 et, pour tout entier naturel n, un+1=0,7un+210. On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite un.

    AB
    1nun
    20600
    31
    42
    53
    64
    75
    86
    97

    Proposer une formule à écrire en B3 pour calculer u1 ; cette formule « tirée vers le bas » dans la colonne devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite un.

    Avec les notations usuelles d'un tableur, la formule saisie en B3 est : "=0.7*B2+210".


  3. On pose, pour tout entier naturel n : vn=un-700.

    1. Démontrer que la suite vn est géométrique de raison 0,7. Préciser son premier terme.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-700=0,7un+210-700=0,7un-490=0,7×un-700=0,7vn

      Pour tout entier n, vn+1=0,7vn alors la suite vn est une suite géométrique de raison 0,7.

      Calculons le premier terme de la suite vn : v0=u0-700Soitv0=600-700=-100

      Ainsi, la suite vn est une suite géométrique de raison 0,7 et de premier terme v0=-100.


    2. Justifier que pour tout entier naturel n, un=700-100×0,7n.

      vn est une suite géométrique de raison 0,7 et de premier terme v0=-100 alors, pour tout entier naturel n, vn=-100×0,7n.

      Comme pour tout entier n, vn=un-700 alors un=vn+700.

      Donc pour tout entier n, un=700-100×0,7n.


    1. Soit n un entier naturel. Démontrer que un697 est équivalent à 0,7n0,03.

      un697700-100×0,7n697-100×0,7n-30,7n0,03

      Ainsi, un6970,7n0,03


    2. Pour résoudre cette inéquation, on utilise l'algorithme suivant :

      Variables :

      N est un nombre entier naturel

      Initialisation :

      Affecter à N la Valeur 0
      Affecter à U la valeur 1

      Traitement :

      Tant que U>0,03

      • Affecter à N la valeur N + 1
      • Affecter à U la valeur 0,7 × U

      Fin du Tant que

      Sortie

      Afficher N.

      Quelle valeur de N obtient-on en sortie ? (On fera tourner l'algorithme).

      La traduction en programme sur la calculatrice est :

      TexasCasio

      : 0 → N
      : 1 → U
      : While U > 0.03
      : N+1 → N
      : 0.7 * U → U
      : End
      : Disp N

      0 → N ↵
      1 → U ↵
      While U > 0.03 ↵
      N+1 → N ↵
      0.7 * U → U ↵
      WhileEnd ↵
      U ◢


      La calculatrice affiche 10.


    3. Retrouver ce résultat en résolvant l'inéquation 0,7n0,03.

      0,7n0,03ln0,7nln0,03 La fonction  ln est strictement croissantenln0,7ln0,03nln0,03ln0,7ln0,7<0

      Comme ln0,03ln0,79,8, le plus petit entier n tel que 0,7n0,03 est 10.


    4. En utilisant l'étude précédente de la suite un, déterminer à partir de quelle année le nombre d'abonnés atteindra au moins 697.

      D'après l'équivalence un6970,7n0,03, c'est à partir de 2020 que le nombre d'abonnés atteindra au moins 697.



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