Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Amérique du Nord 2016

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

partie a

À une sortie d'autoroute, la gare de péage comporte trois voies. Une étude statistique a montré que :

On choisit un automobiliste au hasard et on considère les évènements suivants :

On note T¯ l'évènement contraire de l'évènement T.

  1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
    Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l'exercice.

  2. Calculer la probabilité pCT.

  3. L'étude a aussi montré que 70 % des automobilistes passent le péage en moins de 10 secondes.

    1. Justifier que pDT=0,03.

    2. Calculer la probabilité qu'un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes.

partie b

Quelques kilomètres avant la sortie de l'autoroute, un radar automatique enregistre la vitesse de chaque automobiliste. On considère la variable aléatoire V qui, à chaque automobiliste, associe sa vitesse exprimée en km.h-1.
On admet que V suit la loi normale d'espérance μ=120 et d'écart-type σ=7,5.

  1. Déterminer la probabilité p120<V<130. On arrondira le résultat au millième.

  2. Une contravention est envoyée à l'automobiliste lorsque sa vitesse est supérieure ou égale à 138 km.h-1.
    Déterminer la probabilité qu'un automobiliste soit sanctionné. On arrondira le résultat au millième.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une société propose un service d'abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.
Le 1er janvier 2016, on compte 4000 abonnés.
À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d'un mois sur l'autre, 8 % des anciens joueurs se désabonnent mais que, par ailleurs, 8000 nouvelles personnes s'abonnent.

  1. Calculer le nombre d'abonnés à la date du 1er février 2016.

Pour la suite de l'exercice, on modélise cette situation par une suite numérique unun représente le nombre de milliers d'abonnés au bout de n mois après le 1er janvier 2016.
La suite un est donc définie par : u0=4 et, pour tout entier naturel n, un+1=0,92un+8.

  1. On considère l'algorithme suivant :

    Variables

    N est un nombre entier naturel
    U est un nombre réel

    Traitement

    U prend la valeur 4
    N prend la valeur 0

    Tant que U<40 faire
    U prend la valeur 0,92×U+8
    N prend la valeur N + 1
    Fin Tant que

    Sortie

    Afficher N

    1. Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
      Les valeurs de U seront arrondies au dixième.

      Valeur de U4
      Valeur de N0
      Condition U<40 vraie
    2. Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

  2. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn=un-100.

    1. Montrer que la suite vn est géométrique de raison 0,92 et calculer son premier terme v0.

    2. Donner l'expression de vn en fonction de n.

    3. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a un=100-96×0,92n.

  3. En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre d'abonnés devient supérieur à 70000.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un groupe de presse édite un magazine qu'il propose en abonnement.
Jusqu'en 2010, ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnés du magazine ont le choix entre la version numérique et la version papier.
Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d'avis : 10 % des abonnés à la version papier passent à la version numérique et 6 % des abonnés à la version numérique passent à la version papier.
On admet que le nombre global d'abonnés reste constant dans le temps.

Pour tout nombre entier naturel n, on note :

On a donc a0=1, b0=0 et P0=10.

    1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B où le sommet A représente l'état « abonné à la version papier» et B l'état « abonné à la version numérique ».

    2. Déterminer la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre A, B des sommets.

    3. Montrer que P1=0,90,1.

  1. On admet que, pour tout entier naturel n, on a an+1=0,9an+0,06bn et bn+1=0,1an+0,94bn.
    Le directeur du groupe de presse souhaite visualiser l'évolution des deux types d'abonnements. Pour cela, on lui propose les deux algorithmes suivants :

    Algorithme 1Algorithme 2

    Entrée

    Saisir n

    Entrée

    Saisir n

    Traitement

    a prend la valeur 1
    b prend la valeur 0

    Pour i allant de 1 à n

    • a prend la valeur 0,9×a+0,06×b
    • b prend la valeur 0,1×a+0,94×b
    • Afficher a et b

    Fin pour

    Traitement

    a prend la valeur 1
    b prend la valeur 0

    Pour i allant de 1 à n

    • c prend la valeur a
    • a prend la valeur 0,9×a+0,06×b
    • b prend la valeur 0,1×c+0,94×b
    • Afficher a et b

    Fin pour

    Sachant qu'un seul des algorithmes proposés permet de répondre au souhait du directeur, préciser lequel en justifiant la réponse.

    1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a an+1=0,84an+0,06.

    2. On considère la suite un définie pour tout entier naturel n par un=an-0,375.
      Montrer que la suite un est une suite géométrique de raison 0,84 et calculer u0.

    3. Donner l'expression de un en fonction de n.
      En déduire que, pour tout entier naturel n, on a an=0,375+0,625×0,84n.

  2. En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la proportion d'abonnés à la version papier du magazine devient inférieure à 50 %.


exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

  1. On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle 1050. La probabilité que ce nombre appartienne à l'intervalle 1520 est :

    a. 550

    b. 18

    c. 140

    d. 15

  2. Le prix d'un produit est passé de 200 € à 100 €. Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d'environ :

    a. 50 %

    b. 25 %

    c. 29 %

    d. 71 %

  3. On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f définie et continue sur l'intervalle 018.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    On peut affirmer que :

    1. Toutes les primitives de la fonction f sur l'intervalle 018 sont négatives sur l'intervalle 02.
    2. Toutes les primitives de la fonction f sur l'intervalle 018 sont négatives sur l'intervalle 812.
    3. Toutes les primitives de la fonction f sur l'intervalle 018 sont croissantes sur l'intervalle 02.
    4. Toutes les primitives de la fonction f sur l'intervalle 018 sont croissantes sur l'intervalle 812.
  4. Lors d'un sondage, 53,5 % des personnes interrogées ont déclaré qu'elles voteront pour le candidat A aux prochaines élections. L'intervalle de confiance au seuil de 95 % donné par l'institut de sondage est 51%56%. Le nombre de personnes qui ont été interrogées est alors :

    a. 40

    b. 400

    c. 1600

    d. 6400


EXERCICE 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

partie a : Étude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 01,5 par fx=9x21-2lnx+10.
La courbe représentative de f est donnée ci-dessous :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Montrer que fx=-36xlnxf désigne la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle 01,5.

    2. Étudier le signe de fx sur l'intervalle 01,5.

    3. Déduire de la question précédente les variations de la fonction f sur l'intervalle 01,5.

  1. On admet que fx=-36lnx-36f désigne la dérivée seconde de la fonction f sur l'intervalle 01,5.
    Montrer que la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion dont l'abscisse est e-1.

  2. Soit F la fonction définie sur l'intervalle 01,5 par Fx=10x+5x3-6x3lnx.

    1. Montrer que F est une primitive de la fonction f sur 01,5.

    2. Calculer 11,5fxdx. On donnera le résultat arrondi au centième.

partie b : Application économique

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.
Le prix de l'action depuis un an et demi est modélisé par la fonction f définie dans la partie A, où x représente le nombre d'années écoulées depuis l'introduction en bourse et fx représente le prix de l'action, exprimé en euros.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.



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