Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane septembre 2016

exercice 1 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

  1. On considère la fonction f définie sur par fx=xex ; la fonction f est :

     a. concave sur -0

     b. convexe sur -0

     c. concave sur 0+

     d. convexe sur 0+

  2. On considère l'équation d'inconnue x : 3x+1e5x=0. Cette équation admet sur :

     a. 0 solution

     b. 1 solution

     c. 2 solutions

     d. plus de 3 solutions

  3. On a constaté que, sur 10 ans, le prix d'une certaine denrée a augmenté de 8 % par an. On peut affirmer que, sur 10 ans, le prix de cette denrée a augmenté, à l'unité près, de :

     a. 80 %

     b. 116 %

     c. 216 %

     d. 43 %

  4. La courbe Cg ci-dessous représente une fonction g définie et dérivable sur 03.

    Courbe représentative de la fonction g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    On note g sa fonction dérivée ; on a :

     a. g2=-1

     b. g2=-5

     c. g2=43

     d. g2=2

  5. Soit la fonction h définie sur par hx=e3x+2. Une primitive H de h peut être définie sur par :

     a. Hx=3e3x+2

     b. Hx=13e3x+2

     c. Hx=3x+2e3x+2

     d. Hx=e3x+2

  6. Pour la loi normale représentée ci-dessous on a P9<X<120,8210-2 près).

    Loi normale : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Les paramètres de la loi X sont :

     a. μ=10 et σ=2

     b. μ=11 et σ=2

     c. μ=10 et σ=1

     d. μ=11 et σ=3


exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans une salle de sport, trois activités sont proposées: Pilates (P), Step (S) et Zumba (Z).
D'une semaine sur l'autre les abonnés peuvent changer d'activité.
Au 1er septembre 2015, il y a 10 % des abonnés inscrits en Pilates, 85 % en Step et 5 % en Zumba.

D'après l'analyse des données des années précédentes, le gérant prévoit que, d'une semaine sur l'autre :

On considère qu'il n'y a pas de nouveaux abonnés et pas de départ tout au long de l'année.

Soit En=pnsnzn, la matrice ligne décrivant l'état probabiliste de la répartition parmi les trois activités P, S et Z, n semaines après le 1er septembre 2015.

  1. Donner, sans justification, la matrice E0.

  2. Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets P, S et Z.

  3. On donne M la matrice carrée 3×3 de transition respectant l'ordre P, S et Z.M=0,30,10,60,50,30,20,20,60,2

    1. Préciser la signification du coefficient 0,5 dans la matrice M.

    2. Calculer E1.

    3. Déterminez la répartition prévisible dans chaque activité au bout de trois semaines.

  4. Peut-on affirmer, à 10-2 près, qu'au bout de 6 semaines environ 1/3 des abonnés se répartissent dans chaque activité.

  5. Au 1er septembre 2015 on compte 120 abonnés dans cette salle de sport. Combien peut-on prévoir d'abonnés dans chaque activité, 8 semaines après cette date ?

    1. Conjecturer la valeur exacte des coefficients de la matrice ligne E correspondant à l'état probabiliste stable.

    2. Vérifier cette conjecture.


exercice 3 ( 3 points ) commun à tous les candidats

La fonction f est définie sur 01 par fx=2x.
On considère une variable aléatoire X qui suit la loi de probabilité dont la fonction de densité est f.
Cette fonction de densité est représentée ci-dessous.

Fonction de densité : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Quelle est la valeur, en unité d'aire, de la surface hachurée ? Préciser la démarche utilisée.

    2. Interpréter ce résultat en terme de probabilité.

  1. Calculer la probabilité P0X0,75.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Une association confectionne et porte, chaque jour, à domicile des repas à des personnes dépendantes.
En 2015, 600 personnes étaient abonnées à ce service.

Pour étudier son développement, cette association a fait une enquête selon laquelle l'évolution peut être modélisée de la façon suivante :

  1. Pour suivre l'évolution du nombre d'abonnés, un gestionnaire réalise l'algorithme suivant :

    variables :

    n et U sont des nombres

    Traitement :

    Affecter à U la valeur 600
    Affecter à n la valeur 0
    Tant que U<800 faire

      U prend la valeur U-U×0,05+80
      n prend la valeur n+1

    Fin Tant que

    sortie :

    Afficher n

    1. Recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées à l'unité).

      valeur de U600
      valeur de n0
      testU<800vrai
    2. Déterminer la valeur affichée en fin d'exécution de l'algorithme.

    3. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

  2. Cette évolution peut s'étudier à l'aide d'une suite unun est le nombre d'abonnés pendant l'année 2015+n.
    On a ainsi, pour tout entier naturel n, un+1=0,95×un+80 et u0=600.

    1. Donner u1 et u2 (arrondir les valeurs à l'unité).

    2. On introduit la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn=un-1600.
      Montrer que vn est une suite géométrique.
      Préciser la raison et le premier terme de cette suite.

    3. En déduire que l'on a, pour tout entier naturel n, un=1600-1000×0,95n.

  3. La taille des locaux ne permet pas de servir plus de 1000 repas.
    Si cette évolution se poursuit au même rythme, l'association devra-t-elle envisager un jour des travaux d'agrandissement ?



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