Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Asie 2016

exercice 1 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative 𝒞f d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle -15.
On note f la fonction dérivée de f.
La courbe 𝒞f passe par le point A01 et par le point B d'abscisse 1.
La tangente T0 à la courbe au point A passe par le point C23 et la tangente T1 au point B est parallèle à l'axe des abscisses.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.
Une bonne réponse rapporte 0,75 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.
Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

  1. La valeur exacte de f1 est :

    a. 0

    b. 1

    c. 1,6

    d. autre réponse

  2. La valeur exacte de f0 est :

    a. 0

    b. 1

    c. 1,6

    d. autre réponse

  3. La valeur exacte de f1 est :

    a. 0

    b. 1

    c. 1,6

    d. autre réponse

  4. Un encadrement de 02fxdx par des entiers naturels successifs est :

    a. 302fxdx4

    b. 202fxdx3

    c. 102fxdx2

    d. autre réponse

partie b

  1. 0n admet que la fonction F définie sur -15 par Fx=-x2+4x+5e-x est une primitive de la fonction f.

    1. En déduire l'expression de fx sur -15.

    2. Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine du plan limité par la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=2.

  2. Montrer que sur l'intervalle 15, l'équation fx=1 admet au moins une solution.


exercice 2 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir au millième.

Une entreprise produit en grande série des clés USB pour l'industrie informatique.

partie a

On prélève au hasard 100 clés dans la production de la journée pour vérification. La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 clés.
On admet que la probabilité qu'une clé USB prélevée au hasard dans la production d'une journée soit défectueuse est égale à 0,015.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de clés défectueuses de ce prélèvement.

  1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

  2. Calculer les probabilités pX=0 et pX=1.

  3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux clés soient défectueuses.

partie b

Une clé est dite conforme pour la lecture lorsque sa vitesse de lecture, exprimée en Mo/s, appartient à l'intervalle 98103. Une clé est dite conforme pour l'écriture lorsque sa vitesse d'écriture exprimée en Mo/s appartient à l'intervalle 2833.

  1. On note R la variable aléatoire qui, à chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse de lecture. On suppose que la variable aléatoire R suit la loi normale d'espérance μ=100 et d'écart-type σ=1.
    Calculer la probabilité qu'une clé soit conforme pour la lecture.

  2. On note W la variable aléatoire qui, chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse d"écriture On suppose que la variable aléatoire W suit une loi normale.
    Le graphique ci-après représente la densité de probabilité de la variable aléatoire W.

    Loi normale : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    L'unité d'aire est choisie de façon à ce que l'aire sous la courbe soit égale à un et l'aire grisée est environ égale à 0,95 unité d'aire. La droite d'équation x=30 est un axe de symétrie de la courbe.
    Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire W. Justifier.

partie c

Dans cette partie, on considère une grande quantité de clés devant être livrées à un éditeur de logiciels. On considère un échantillon de 100 clés prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
On constate que 94 clés sont sans défaut.

Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion des clés USB qui sont sans défaut.


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le 1er septembre 2015, un ensemble scolaire compte 3000 élèves.
Une étude statistique interne a montré que chaque 1er septembre :

On cherche à modéliser cette situation par une suite un où, pour tout entier naturel n, un représente le nombre d'élèves le 1er septembre de l'année 2015 + n.

  1. Justifier qu'on peut modéliser la situation avec la suite un telle que u0=3000 et, pour tout entier naturel n, un+1=0,9un+250.

  2. Pour tout entier naturel n, on pose vn=un-2500.

    1. Démontrer que la suite vn est géométrique de raison 0,9. Préciser v0.

    2. Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.
      En déduire que pour tout entier naturel n, un=500×0,9n+2500.

  3. Démontrer que pour tout entier naturel n, un+1-un=-50×0,9n.
    En déduire le sens de variation de la suite un.

  4. La capacité optimale d'accueil est de 2800 élèves. Ainsi, au 1er septembre 2015, l'ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 élèves.
    Écrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l'ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

On considère le graphe 𝒢 ci-dessous :

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. En justifiant la réponse, dire si ce graphe admet une chaîne eulérienne. Si oui, donner une telle chaîne.

  2. On considère la matrice M ci-après (a, b, c et d sont des nombres réels). M=0111000000010001100000100a1110000100001b0000011000011000111000111000110000010000011000010000c100001000001100010000d001110

    1. Déterminer les réels a, b, c et d pour que la matrice M représente la matrice d'adjacence associée au graphe 𝒢, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique.

    2. On donne M3=08108000555080001013600051000011169000680007128000401011700010107001316120001313120069800055705000101350008500010135000850007127000705640008870 Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A à J. Préciser ces chemins.

partie a

On oriente et on pondère le graphe 𝒢 ci-dessus pour qu'il représente un réseau d'irrigation.

Graphe orienté pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Déterminer un chemin de longueur minimale entre le départ d'eau en A et le bassin d'infiltration en K et donner sa longueur.


exercice 4 ( 3 points ) commun à tous les candidats

D'après une enquête menée auprès d'une population, on a constaté que :

On interroge une personne dans la population. Elle affirme qu'elle travaille à temps partiel.
Quelle est la probabilité que cette personne soit un homme ?



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