sujet : Amérique du Nord 2016

correction de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Une société propose un service d'abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.
Le 1^er janvier 2016, on compte 4000 abonnés.
À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d'un mois sur l'autre, 8 % des anciens joueurs se désabonnent mais que, par ailleurs, 8000 nouvelles personnes s'abonnent.

1. Calculer le nombre d'abonnés à la date du 1^er février 2016.

   Le nombre d'abonnés à la date du 1^er février 2016 est :$$4000\times \left(1-{\displaystyle \frac{8}{100}}\right)+8000=11680$$

   Le 1^er février 2016, la société compte 11680 abonnés.

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Pour la suite de l'exercice, on modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de milliers d'abonnés au bout de n mois après le 1^er janvier 2016.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc définie par : $u_0=4$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,92}{u}_n+8$.

2. On considère l'algorithme suivant :

   Variables N est un nombre entier naturel U est un nombre réel

   Traitement U prend la valeur 4 N prend la valeur 0 Tant que $U<40$ faire U prend la valeur $\mathrm{0,92}\times U+8$ N prend la valeur N + 1 Fin Tant que

   Sortie Afficher N

   1. Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
      Les valeurs de U seront arrondies au dixième.

      Valeur de U	4	11,7	18,7	25,2	31,2	36,7	41,8
      Valeur de N	0	1	2	3	4	5	6
      Condition $U<40$	vraie	vraie	vraie	vraie	vraie	vraie	FAUSSE

   2. Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

      La valeur affichée en sortie par cet algorithme est 6. Le 1^er juillet 2016 le nombre d'abonnés devient supérieur à 40000.

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3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n=u_n-100$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 0,92 et calculer son premier terme $v_0$.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-100\hfill \\ & =& \mathrm{0,92}{u}_n+8-100\hfill \\ & =& \mathrm{0,92}{u}_n-92\hfill \\ & =& \mathrm{0,92}\times \left(u_n-100\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,92}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,92}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92 dont le premier terme $v_0=4-100=-96$.

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   2. Donner l'expression de $v_n$ en fonction de n.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme $v_0=-96$ donc :

      pour tout entier naturel n, $v_n=-96\times {\mathrm{0,92}}^n$.

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   3. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a $u_n=100-96\times {\mathrm{0,92}}^n$.

      Comme pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-100\iff u_n=100+v_n$ on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, on a $u_n=100-96\times {\mathrm{0,92}}^n$.

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4. En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre d'abonnés devient supérieur à 70000.

   Le nombre de mois n est le plus petit entier solution de l'inéquation : $$\begin{array}{rcll}{u}_n>70& \iff & 100-96\times {\mathrm{0,92}}^n>70& \\ & \iff & -96\times {\mathrm{0,92}}^n>-30& \\ & \iff & {\mathrm{0,92}}^n<\mathrm{0,3125}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,92}}^n\right)<\ln \mathrm{0,3125}& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{0,92}<\ln \mathrm{0,3125}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,3125}}{\ln \mathrm{0,92}}}& \ln \mathrm{0,92}<0\end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,3125}}{\ln \mathrm{0,92}}}\approx \mathrm{13,9}$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_n>70$ est $n=14$.

   Le nombre d'abonnés devient supérieur à 70000 à partir du du 1^er mars 2017.

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