Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie 2016

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes

On s'intéresse à l'ensemble des demandes de prêts immobiliers auprès de trois grandes banques.
Une étude montre que 42 % des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Karl, 35 % des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Lofa, alors que cette proportion est de 23 % pour la banque Miro.
Par ailleurs :

On choisit au hasard une demande de prêt immobilier parmi celles déposées auprès des trois banques.
On considère les évènements suivants :

On rappelle que pour tout évènement E, on note PE sa probabilité et on désigne par E¯ son événement contraire.

Dans tout l'exercice on donnera, si nécessaire, des valeurs approchées au millième des résultats.

partie a

  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.

  2. Calculer la probabilité que la demande de prêt soit déposée auprès de la banque Karl et soit acceptée.

  3. Montrer que PA0,735.

  4. La demande de prêt est acceptée. Calculer la probabilité qu'elle ait été déposée à la banque Miro.

partie b

Dans cette partie, on s'intéresse à la durée moyenne d'un prêt immobilier.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque prêt immobilier, associe sa durée, en années.
On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ=20 et d'écart-type σ=7.

  1. Calculer la probabilité que la durée d'un prêt soit comprise entre 13 et 27 ans.

  2. Déterminer une valeur approchée à 0,01 près du nombre réel a tel que PX>a=0,1.
    Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.


exercice 2 ( 7 points ) commun à tous les candidats

Une entreprise s'intéresse au nombre d'écrans 3D qu'elle a vendus depuis 2010 :

Année 201020112012
Nombre d'écrans 3D vendus0500011000

Le nombre d'écrans 3D vendus par l'entreprise l'année (2010 + n) est modélisé par une suite un, arithmético-géométrique, de premier terme u0=0.
On rappelle qu'une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout entier naturel n, une relation de récurrence de la forme un+1=a×un+ba et b sont deux réels.

    1. En supposant que u1=5000, déterminer la valeur de b.

    2. En supposant de plus que u2=11000, montrer que pour tout entier naturel n, on a : un+1=1,2×un+5000.

    1. Calculer u3 et u4.

    2. En 2013 et 2014, l'entreprise a vendu respectivement 18000 et 27000 écrans 3D.
      La modélisation semble-t-elle pertinente ?

Dans toute la suite, on fait l'hypothèse que le modèle est une bonne estimation du nombre d'écrans 3D que l'entreprise va vendre jusqu'en 2022.

  1. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par : vn=un+25000.

    1. Démontrer que la suite vn est une suite géométrique de raison 1,2.
      Préciser la valeur de son premier terme v0.

    2. Montrer que pour tout entier naturel n, un=25000×1,2n-25000.

  2. On souhaite connaître la première année pour laquelle le nombre de ventes d'écrans 3D dépassera 180000 unités.

    1. Prouver que résoudre l'inéquation un>180000 revient à résoudre l'inéquation 1,2n>8,2.

    2. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il détermine et affiche le plus petit entier naturel n, solution de l'inéquation 1,2n>8,2.

      variables :

      N est un entier naturel
      W est un nombre réel

      Initialisation :

      N prend la valeur 0
      W prend la valeur …

      traitement :

      Tant que …

        W prend la valeur W×1,2
        …

      Fin du Tant que

      sortie :

      Afficher …

    3. Déterminer cet entier naturel n.

  3. À partir de 2023, l'entreprise prévoit une baisse de 15 % par an du nombre de ses ventes d'écrans 3D. Combien d'écrans 3D peut-elle prévoir de vendre en 2025 ?


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

Les questions 1 et 2 sont indépendantes

On rappelle que désigne l'ensemble des nombres réels.

  1. On considère la fonction f définie sur l'intervalle 0+ par fx=xlnx-x+1.

    • affirmation A : La fonction f est croissante sur l'intervalle 01.

    • affirmation B : La fonction f est convexe sur l'intervalle 0+.

    • affirmation C : Pour tout x appartenant à l'intervalle 0+, fx50.

  2. On donne ci-dessous la courbe représentative 𝒞g d'une fonction g définie sur .
    On admet que g est dérivable sur et on rappelle que g désigne la fonction dérivée de la fonction g.
    On a tracé en pointillé la tangente T à la courbe 𝒞g au point A de cette courbe, d'abscisse 1 et d'ordonnée 2. Cette tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 2.

    Courbe représentative de la fonction g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    • affirmation D :g1=-2.

    • affirmation E :01gxdx<3.


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.

  1. On donne le graphe probabiliste suivant :

    Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    • affirmation A : L'état stable associé à ce graphe est 2313.

  2. On donne le graphe pondéré G suivant :

    Graphe G : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    • affirmation B : Il existe une chaîne passant une et une seule fois par toutes les arêtes de ce graphe.

    • affirmation C : La plus courte chaîne entre les sommets A et D est une chaîne de poids 5.

  3. On considère la matrice M=0101101101001100.
    On suppose que M est la matrice d'adjacence d'un graphe à quatre sommets A, B, C, D dans cet ordre.

    • affirmation D : Il existe exactement 3 chaînes de longueur 4 reliant le sommet B au sommet D.

  4. On considère les matrices A=a00a et B=-100a.

    • affirmation E : Il existe un nombre réel a pour lequel B est l'inverse de A.


exercice 4 ( 3 points ) commun à tous les candidats

Un publicitaire envisage la pose d'un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle 010 par : fx=4e-0,4x.
Cette courbe 𝒞f est tracée ci-dessous dans un repère d'origine O :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le point A est situé à l'origine du repère, le point B est sur l'axe des abscisses, le point D est sur l'axe des ordonnées et le point C est sur la courbe 𝒞f.

  1. On suppose dans cette question que le point B a pour abscisse x=2.
    Montrer qu'une valeur approchée de l'aire du panneau publicitaire est 3,6 m2.

  2. Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l'énoncé, quelles sont les dimensions de celui dont l'aire est la plus grande possible ?
    On donnera les dimensions d'un tel panneau au centimètre près.




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