Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Nord 2016

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a : Étude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $] 0; 1,5]$ par $f (x) = 9 x^{2} (1 - 2 \ln x) + 10$ .
La courbe représentative de f est donnée ci-dessous :

Montrer que $f' (x) = - 36 x \ln x$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle $] 0; 1,5]$ .
La fonction f est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables : $f = u v + 10$ d'où $f' = u' v + u v'$ avec pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 1,5]$ , ${\begin{matrix} u (x) = 9 x^{2} & ; & u' (x) = 18 x \\ v (x) = 1 - 2 \ln x & ; & v' (x) = - \frac{2}{x} \end{matrix}$
Soit pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 1,5]$ , $\begin{array}{rcl} f' (x) & = & 18 x \times (1 - 2 \ln x) + 9 x^{2} \times (- \frac{2}{x}) \\ = & 18 x - 36 x \ln x - 18 x \\ = & - 36 x \ln x \end{array}$
Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur l'intervalle $] 0; 1,5]$ par $f' (x) = - 36 x \ln x$ .
Étudier le signe de $f' (x)$ sur l'intervalle $] 0; 1,5]$ .
Étudions le signe de $f' (x)$ à l'aide d'un tableau :
x
0 1 1,5
$- 36 x$ − $|$ −
$\ln x$ − $0_{|}^{|}$ +
$f' (x) = - 36 x \ln x$ + $0_{|}^{|}$ −

Déduire de la question précédente les variations de la fonction f sur l'intervalle $] 0; 1,5]$ .

Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

x	0		1		1,5
$f' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$f (x)$			19

On admet que $f ″ (x) = - 36 \ln x - 36$ où $f ″$ désigne la dérivée seconde de la fonction f sur l'intervalle $] 0; 1,5]$ .
Montrer que la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion dont l'abscisse est $e^{- 1}$ .
Pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 1,5]$ on a $f ″ (x) = - 36 \ln x - 36 = - 36 (\ln x + 1)$ et, $\begin{array}{rcl} \ln x + 1 ⩾ 0 & \Leftrightarrow & \ln x ⩾ - 1 \\ \Leftrightarrow & x ⩾ e^{- 1} \end{array}$
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde :
x
0 $e^{- 1}$ 1,5
$f ″ (x) = - 36 (\ln x + 1)$ + $0_{|}^{|}$ −
Convexité de f

f est convexe
f est concave

La fonction f change de convexité pour $x = e^{- 1}$ donc la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse $e^{- 1}$ .
Soit F la fonction définie sur l'intervalle $] 0; 1,5]$ par $F (x) = 10 x + 5 x^{3} - 6 x^{3} \ln x$ .
1. Montrer que F est une primitive de la fonction f sur $] 0; 1,5]$ .
  Pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 1,5]$ , $\begin{array}{rcl} F' (x) & = & 10 + 15 x^{2} - (18 x^{2} \times \ln x + 6 x^{3} \times \frac{1}{x}) \\ = & 10 + 15 x^{2} - 18 x^{2} \ln x - 6 x^{2} \\ = & 10 + 9 x^{2} - 18 x^{2} \ln x \\ = & 9 x^{2} (1 - 2 \ln x) + 10 \end{array}$
  Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 1,5]$ on a $F' (x) = f (x)$ donc la fonction F définie par $F (x) = 10 x + 5 x^{3} - 6 x^{3} \ln x$ est une primitive de la fonction f sur $] 0; 1,5]$ .
2. Calculer $\int_{1}^{1,5} f (x) d x$ . On donnera le résultat arrondi au centième.
  $\begin{array}{rcl} \int_{1}^{1,5} f (x) d x & = & F (1,5) - F (1) \\ = & (15 + 16,875 - 20,25 \ln 1,5) - (10 + 5) \\ = & 16,875 - 20,25 \ln 1,5 \end{array}$
  $\int_{1}^{1,5} f (x) d x \approx 8,66$

partie b : Application économique

Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.
Le prix de l'action depuis un an et demi est modélisé par la fonction f définie dans la partie A, où x représente le nombre d'années écoulées depuis l'introduction en bourse et $f (x)$ représente le prix de l'action, exprimé en euros.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Proposition 1 : « Sur la période des six derniers mois, l'action a perdu plus d'un quart de sa valeur. »
Sur les six derniers mois, le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'évolution du cours de l'action est : $\frac{f (1,5)}{f (1)} = \frac{30,25 - 40,5 \ln 1,5}{19} \approx 0,728$
Par conséquent, sur la période des six derniers mois, l'action a perdu près de 27,2 % de sa valeur.
La proposition 1 est vraie.
Proposition 2 : « Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l'action a été inférieure à 17 €. »
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $[1; 1,5]$ est : $\frac{1}{1,5 - 1} \times \int_{1}^{1,5} f (x) d x \approx 17,32$
La proposition 2 est fausse.

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x	0		1		1,5
$- 36 x$		−	$\|$	−
$\ln x$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$f' (x) = - 36 x \ln x$		+	$0_{\|}^{\|}$	−

x	0		$e^{- 1}$		1,5
$f ″ (x) = - 36 (\ln x + 1)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
Convexité de f		f est convexe		f est concave