sujet : Centres Étrangers 2016

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

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Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)=5-x+2\ln x$.
On a représenté ci-desssous la courbe représentative $𝒞$ de la fonction f, ainsi que T, la tangente à la courbe $𝒞$ au point f d'abscisse 4.

1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f, on a :

   Pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& -1+2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-x+2}{x}}\end{array}$$

   a. $f\prime \left(x\right)=-1+2x$

   b. $f\prime \left(x\right)=-2\ln x+\left(5-x\right){\displaystyle \frac{2}{x}}$

   c. $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-x+2}{x}}$

   d. $f\prime \left(x\right)=-4+{\displaystyle \frac{2}{x}}$

2. Sur l'intervalle $\left]0;10\right]$, l'équation $f\prime \left(x\right)=0$ admet :

   Pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)=0& \iff & {\displaystyle \frac{-x+2}{x}}=0\\ & \text{Soit}& x=2\end{array}$$

   a. Aucune solution

   b. Une seule solution

   c. Deux solutions

   d. Plus de deux solutions

3. Une équation de T est :

   Une équation de la tangente T à la courbe $𝒞$ au point f d'abscisse 4 est :$$\begin{array}{rcl}y=f\prime \left(4\right)\times \left(x-4\right)+f\left(4\right)& \iff & y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x-4\right)+1+2\ln 4\\ & \iff & y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3+2\ln 4\end{array}$$

   a. $y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+\mathrm{5,7}$

   b. $y=\mathrm{5,7}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

   c. $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1+2\ln 4$

   d. $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3+2\ln 4$

4. La valeur de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_1^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ appartient à l'intervalle :

   En terminale ES on ne sait pas calculer une primitive de la fonction ln.

   • Méthode 1 : Lecture graphique.

     Sur l'intervalle $\left[1;3\right]$, la fonction f est positive par conséquent, l'intégrale ${\displaystyle {\int }_1^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=3$.

     Or l'aire du domaine hachuré peut être encadrée par l'aire de deux rectangles d'où :$$\begin{array}{ccc}2\times 4⩽{\displaystyle {\int }_1^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽2\times \mathrm{4,5}& \iff & 8⩽{\displaystyle {\int }_1^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽9\end{array}$$

   • Méthode 2 : Utilisation de la calculatrice.

     La calculatrice permet d'obtenir une valeur approchée de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_1^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ : $${\displaystyle {\int }_1^3\left(5-x+2\ln x\right)\mathrm{d}x}\approx \mathrm{8,6}$$

   a. $\left[1;3\right]$

   b. $\left[4;5\right]$

   c. $\left[8;9\right]$

   d. $\left[10;11\right]$

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