Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Centres Étrangers 2016

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Un site internet propose à ses abonnés des films à télécharger.
Lors de son ouverture, 500 films sont proposés et chaque mois, le nombre de films proposés aux abonnés augmente de 6 %.

partie a

On modélise le nombre de films proposés par une suite géométrique $(u_{n})$ où n désigne le nombre de mois depuis l'ouverture du site. On a donc $u_{0} = 500$ .

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ et donner le résultat arrondi à l'unité.
Chaque mois, le nombre de films proposés aux abonnés augmente de 6 % d'où, pour tout entier n on a $u_{n + 1} = 1,06 u_{n}$ : $\begin{matrix} u_{1} = u_{0} \times 1,06 & soit & u_{1} = 500 \times 1,06 = 530 \\ u_{2} = u_{1} \times 1,06 & soit & u_{2} = 530 \times 1,06 = 561,8 \end{matrix}$
Ainsi, $u_{1} = 530$ et $u_{2} \approx 562$
Exprimer $u_{n}$ en fonction de n.
$(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,06 et de premier terme $u_{0} = 500$ donc pour tout entier naturel n, $u_{n} = 500 \times {1,06}^{n}$ .
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .
$1,06 > 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {1,06}^{n} = + \infty$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 500 \times {1,06}^{n} = + \infty$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .

partie b

Dans cette partie, on souhaite déterminer à partir de combien de mois le site aura doublé le nombre de films proposés par rapport au nombre de films proposés à l'ouverture.

On veut déterminer cette valeur à l'aide d'un algorithme.
Recopier et compléter les lignes L3, L5 et L7 pour que l'algorithme donne le résultat attendu.

L1 :	Initialisation	Affecter à U la valeur 500
L2 :		Affecter à N la valeur 0
L3 :	Traitement	Tant que $U < 1000$
L4 :		Affecter à N la valeur $N + 1$
L5 :		Affecter à U la valeur $1,06 \times U$
L6 :		Fin Tant que
L7 :	Sortie	Afficher N

On veut maintenant utiliser une méthode algébrique Calculer le nombre de mois recherché.
On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation $\begin{array}{rcll} u_{n} ⩾ 1000 & \Leftrightarrow & 500 \times {1,06}^{n} ⩾ 1000 \\ \Leftrightarrow & {1,06}^{n} ⩾ 2 \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,06}^{n}) ⩾ \ln 2 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 1,06 ⩾ \ln 2 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 2}{\ln 1,06} \end{array}$
Comme $\frac{\ln 2}{\ln 1,06} \approx 11,9$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} ⩾ 1000$ est $n = 12$ .
Le nombre de films proposés aura doublé à partir du douzième mois.

partie c

En raison d'une offre de bienvenue, le nombre d'abonnés au lancement est 15000. Sur la base des premiers mois, on estime que le nombre des clients abonnés au site évolue suivant la règle suivante :
chaque mois, 10 % des clients se désabonnent et 2500 nouveaux abonnés sont enregistrés.
On note $u_{n}$ l'estimation du nombre d'abonnés n mois après l'ouverture, on a ainsi $v_{0} = 15000$ .

Justifier que, pour tout entier naturel n, on a $v_{n + 1} = 0,9 v_{n} + 2500$ .
Chaque mois, 90 % des clients conservent leur abonnement et 2500 nouveaux abonnés sont enregistrés donc :
pour tout entier naturel n, on a $v_{n + 1} = 0,9 v_{n} + 2500$ .
On considère la suite $(w_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $w_{n} = v_{n} - 25000$ .
1. Montrer que la suite $(w_{n})$ est géométrique de raison 0,9 et préciser son premier terme.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} w_{n + 1} & = & v_{n + 1} - 25000 \\ = & 0,9 v_{n} + 2500 - 25000 \\ = & 0,9 v_{n} - 22500 \\ = & 0,9 \times (v_{n} - 25000) \\ = & 0,9 w_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $w_{n + 1} = 0,9 w_{n}$ donc $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,9 dont le premier terme $w_{0} = 15000 - 25000 = - 10000$ .
2. En déduire que, pour tout entier n, $v_{n} = 25000 - 10000 \times {0,9}^{n}$ .
  $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,06 et de premier terme $w_{0} = - 10000$ donc pour tout entier naturel n, $w_{n} = - 10000 \times {1,06}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $w_{n} = v_{n} - 25000 \Leftrightarrow v_{n} = w_{n} + 25000$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, on a $v_{n} = 25000 - 10000 \times {0,9}^{n}$ .
3. Peut-on prévoir, à l'aide de ce modèle, une stabilisation du nombre d'abonnés sur le long terme ? Justifier la réponse.
  $0 < 0,9 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,9}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 10000 \times {0,9}^{n} = 0$ et, $\lim_{n \to + \infty} 25000 - 10000 \times {0,9}^{n} = 25000$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 25000$ .
  La suite $(v_{n})$ converge vers 25000. Selon ce modèle, sur le long terme le nombre d'abonnés se stabilisera à 25 000.

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