sujet : Nouvelle Calédonie mars 2017

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question posée, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f. Alors :

   Le nombre dérivé $f\prime \left(-3\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe $𝒞$ au point A d'abscisse $-3$ : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(-3\right)={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{Soit}& f\prime \left(-3\right)={\displaystyle \frac{-2-6}{-5+3}}=4\end{array}$$

   A. $f\prime \left(-3\right)=6$

   B. $f\prime \left(-3\right)=4$

   C. $f\prime \left(-3\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}$

   D. $f\prime \left(-3\right)={\displaystyle \frac{1}{6}}$

2. On note $f″$ la fonction dérivée seconde de la fonction f. Alors :

   Le point $A\left(-3;6\right)$ est l'unique point d'inflexion de la courbe $𝒞$ sur $\left[-5;1\right]$. Par conséquent, la dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x=-3$.

   A. $f″\left(-3\right)=6$

   B. $f″\left(-3\right)=4$

   C. $f″\left(-3\right)=0$

   D. $f″\left(-3\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}$

3. La fonction f est :

   Sur $\left[-5;-3\right]$ la courbe $𝒞$ est au dessus de la tangente T et, le point $A\left(-3;6\right)$ est un point d'inflexion de la courbe $𝒞$ donc la fonction f est convexe sur $\left[-5;-3\right]$.

   A. convexe sur $\left[-5;-3\right]$

   B. convexe sur $\left[-5;-1\right]$

   C. convexe sur $\left[-3;1\right]$

   D. concave sur $\left[-5;1\right]$

4. La fonction dérivée $f\prime$ est :

   La fonction f est convexe sur $\left[-5;-3\right]$ et concave sur $\left[-3;1\right]$ donc la fonction dérivée $f\prime$ est décroissante sur $\left[-3;1\right]$.

   A. décroissante sur $\left[-3;-1\right]$

   B. croissante sur $\left[-3;-1\right]$

   C. croissante sur $\left[-1;-1\right]$

   D. croissante sur $\left[-5;-1\right]$

5. Toute primitive F de la fonction f est :

   La fonction f est positive par conséquent, toute primitive F de la fonction f est croissante sur $\left[-5;1\right]$.

   A. décroissante sur $\left[-5;1\right]$

   B. croissante sur $\left[-5;1\right]$

   C. constante sur $\left[-5;1\right]$

   D. décroissante sur $\left[-1;-1\right]$

6. On note $I={\displaystyle {\int }_{-5}^{-4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. Alors :

   La fonction f est positive par conséquent, l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-5}^{-4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-5$ et $x=-4$. C'est donc un nombre positif inférieur à l'aire du trapèze représenté en violet.

   A. $-2⩽I⩽0$

   B. $-5⩽I⩽-4$

   C. $0<I⩽2$

   d. $2<I<4$

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