sujet : Antilles Guyane 2019

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Un infographiste simule sur ordinateur la croissance d'un bambou. Il prend pour modèle un bambou d'une taille initiale de 1 m dont la taille augmente d'un mois sur l'autre de 5 % auxquels s'ajoutent 20 cm.
Pour tout entier naturel n non nul, on note $u_n$ la taille, exprimée en centimètre, qu'aurait le bambou à la fin du n-ième mois, et $u_0=100$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

   $$\begin{array}{l}{u}_1=100\times \left(1+{\displaystyle \frac{5}{100}}\right)+20=125\\ u_2=125\times \mathrm{1,05}+20=\mathrm{151,25}\end{array}$$.

   $u_1=125$ et $u_2=\mathrm{151,25}$.

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2. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{1,05}\times u_n+20$.

   Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 5 % est :$$1+{\displaystyle \frac{5}{100}}=\mathrm{1,05}$$ Soit $u_n$ la taille, exprimée en centimètre, qu'aurait le bambou à la fin du n-ième mois. La taille, exprimée en centimètre, qu'aurait le bambou à la fin du mois suivant s'obtient à l'aide du montage suivant :

   $$u_n\stackrel{\times \mathrm{1,05}\text{ ( augmentation de 5 \% ) }}{\to }\mathrm{1,05}{u}_n\stackrel{+20\text{ ( ajout de 20 cm ) }}{\to }\underset{u_{n+1}}{\underbrace{\mathrm{1,05}{u}_n+20}}$$

   Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1}=\mathrm{1,05}{u}_n+20$.

   ---

3. Pour tout entier naturel n, on pose : $v_n=u_n+400$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}+400\hfill \\ & =& \mathrm{1,05}{u}_n+20+400\hfill \\ & =& \mathrm{1,05}{u}_n+420\hfill \\ & =& \mathrm{1,05}\times \left(u_n+400\right)\hfill \\ & =& \mathrm{1,05}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{1,05}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,05 et dont le premier terme $v_0=100+400=500$.

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   2. Pour tout entier naturel n, exprimer $v_n$ en fonction de n.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme $v_0=500$ donc pour tout entier naturel n, on a :$v_n=500\times {\mathrm{1,05}}^n$.

      ---

   3. En déduire que pour tout entier naturel n, $u_n=500\times {\mathrm{1,05}}^n-400$.

      Comme pour tout entier naturel n, $v_n=u_n+400\iff u_n=v_n-400$ on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, $u_n=500\times {\mathrm{1,05}}^n-400$.

      ---

   4. Calculer la taille du bambou, au centimètre près, à la fin du 7^e mois.

      $$u_7=500\times {\mathrm{1,05}}^7-400\approx 304$$

      Arrondie au centimètre près, la taille du bambou à la fin du 7^e mois est d'environ 304 cm.

      ---

4. On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel n est un entier naturel et u est un nombre réel.

   $u\leftarrow 100$
   $n\leftarrow 0$

   Tant que $u<200$ faire
   $u\leftarrow \mathrm{1,05}\times u+20$
   $n\leftarrow n+1$
   Fin Tant que

   1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme.

      Test $u<200$		vrai	vrai	vrai	FAUX
      Valeur de u	100	125	$\approx \mathrm{151,3}$	$\approx \mathrm{178,8}$	$\approx \mathrm{207,8}$
      Valeur de n	0	1	2	3	4

   2. Quelle est la valeur de la variable n à la fin de l'exécution de l'algorithme ? Interpréter le résultat au regard de la situation étudiée dans cet exercice.

      À la fin de l’exécution de l’algorithme, la variable n contient la valeur $n=4$. La taille du bambou dépassera 2 m à la fin du quatrième mois.

      ---

   3. Modifier les lignes nécessaires dans l'algorithme pour déterminer le nombre de mois qu'il faudrait à un bambou de 50 cm pour atteindre ou dépasser 10 m.

      $u\leftarrow 50$
      $n\leftarrow 0$

      Tant que $u<1000$ faire
      $u\leftarrow \mathrm{1,05}\times u+20$
      $n\leftarrow n+1$
      Fin Tant que

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