sujet : Antilles Guyane 2019

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

La mairie d'une ville propose une carte jeune annuelle donnant droit à des réductions sur les activités culturelles et de loisirs. La mairie espère que dans l'avenir, au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte et si oui, en quelle année cela se produirait.
Ces dernières années, lors du renouvellement de la carte, on a constaté que 10 % des possesseurs de la carte ne la rachètent pas. Dans le même temps, 30 % de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l'année précédente achètent la carte. On fait l'hypothèse que l'effectif de la population des 12-18 ans est constant et que l'évolution va rester la même pour les prochaines années.
En 2018, 80 % des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte.
On note, pour tout entier naturel n, $a_n$ la part de la population des 12-18 ans de la ville possédant la carte l'année $2018+n$, et $b_n$ la part de la population des 12-18 ans ne la possédant pas.

partie a

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B où le sommet A représente l'état « posséder une carte jeune » et B l'état « ne pas posséder une carte jeune ».

   Lors du renouvellement de la carte, on a constaté que :

   • 10 % des possesseurs de la carte ne la rachètent pas d'où $p_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,1}$ et $p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$.
   • 30 % de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l'année précédente achètent la carte d'où $p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,3}$ et $p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$.

   D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

2. Déterminer la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre A puis B des sommets.

   Notons $P_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2018+n$

   La matrice de transition du graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, $P_{n+1}=P_n\times M$ est : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$.

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3. 1. Vérifier que $a_2=\mathrm{0,552}$ et $b_2=\mathrm{0,448}$.

      En 2018, 80 % des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte donc la matrice ligne de l'état probabiliste initial est : $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$. $P_2=P_0\times M^2$ soit : $$\begin{array}{ccccc}{P}_2& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)}^2& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,552}& \mathrm{0,448}\end{array}\right)\end{array}$$

      $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,552}& \mathrm{0,448}\end{array}\right)$ donc $a_2=\mathrm{0,552}$ et $b_2=\mathrm{0,448}$.

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   2. Interpréter le coefficient 0,552 dans le contexte de l'énoncé.

      En 2020, 55,2 % des jeunes de 12-18 ans posséderont la carte.

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4. On note a et b les coefficients de la matrice P correspondant à l'état stable de ce graphe.

   1. Montrer que les nombres a et b sont solutions du système $\{\begin{array}{l}-\mathrm{0,1}a+\mathrm{0,3}b=0\\ a+b=1\end{array}$.

      Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ avec $a+b=1$ et vérifiant : $$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}a+\mathrm{0,3}b& \mathrm{0,1}a+\mathrm{0,7}b\end{array}\right)\\ & \text{soit}& \{\begin{array}{c}a=\mathrm{0,9}a+\mathrm{0,3}b\\ b=\mathrm{0,1}a+\mathrm{0,7}b\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\mathrm{0,1}a-\mathrm{0,3}b=0\\ -\mathrm{0,1}a+\mathrm{0,3}b=0\end{array}\end{array}$$

      D'où a et b vérifient la relation $-\mathrm{0,1}a+\mathrm{0,3}b=0$. Comme d'autre part, $a+b=1$ on en déduit que :

      a et b sont solutions du système $\{\begin{array}{l}-\mathrm{0,1}a+\mathrm{0,3}b=0\\ a+b=1\end{array}$.

      ---

   2. Justifier que la mairie peut espérer qu'à l'avenir au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte.

      Détermminons l'état stable du système :$$\begin{array}{rcl}\{\begin{array}{rcl}-\mathrm{0,1}a+\mathrm{0,3}b& =& 0\\ a+b& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{lcl}-\mathrm{0,4}a& =& -\mathrm{0,3}\\ a+b& =& 1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{c}a=\mathrm{0,75}\\ b=\mathrm{0,25}\end{array}\end{array}$$

      Ainsi, l'état probabiliste converge vers l'état stable $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,75}& \mathrm{0,25}\end{array}\right)$.

      À partir d'un certain nombre d'années, chaque année, 75 % environ de la population des 12-18 ans possèdent la carte.

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partie b

On admet que pour tout entier naturel n, $a_{n+1}=\mathrm{0,6}{a}_n+\mathrm{0,3}$ et que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.

1. On donne l'algorithme suivant dans lequel A est un nombre réel et N est un entier naturel.

   $A\leftarrow \mathrm{0,2}$
   $N\leftarrow 0$

   Tant que ⋯ faire
   A prend la valeur ⋯
   N prend la valeur ⋯
   Fin Tant que

   Recopier puis compléter les pointillés des lignes 3 à 5 de l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche le nombre d'années nécessaires à la mairie pour atteindre son objectif qu'au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte.

   $A\leftarrow \mathrm{0,2}$
   $N\leftarrow 0$

   Tant que $A<\mathrm{0,7}$ faire
   A prend la valeur $\mathrm{0,6}\times A+\mathrm{0,3}$
   N prend la valeur $N+1$
   Fin Tant que

2. En quelle année l'objectif sera-t-il atteint ?

   • méthode 1

     On programme l'algorithme sur la calculatrice pour obtenir la réponse.

   • méthode 2

     On calcule les termes de la suite $\left(a_n\right)$ définie par $a_0=\mathrm{0,2}$ et, pour tout entier n, $a_{n+1}=\mathrm{0,6}{a}_n+\mathrm{0,3}$

     Valeur de a	0,2	0,42	0,552	0,6312	$\approx \mathrm{0,679}$	$\approx \mathrm{0,707}$
     Valeur de n	0	1	2	3	4	5
     Condition $a<\mathrm{0,7}$	vrai	vrai	vrai	vrai	vrai	FAUX

   • méthode 3

     À l'aide de la calculatrice, on calcule $$\begin{array}{ccccc}{P}_4& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)}^4& \approx & \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,679}& \mathrm{0,321}\end{array}\right)\end{array}$$ et $$\begin{array}{ccccc}{P}_5& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)}^5& \approx & \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,707}& \mathrm{0,293}\end{array}\right)\end{array}$$

   À la fin de l’exécution de l’algorithme, la variable N contient la valeur $N=5$. L'objectif sera-t-il atteint 2023.

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