La mairie d'une ville propose une carte jeune annuelle donnant droit à des réductions sur les activités culturelles et de loisirs. La mairie espère que dans l'avenir, au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte et si oui, en quelle année cela se produirait.
Ces dernières années, lors du renouvellement de la carte, on a constaté que 10 % des possesseurs de la carte ne la rachètent pas. Dans le même temps, 30 % de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l'année précédente achètent la carte. On fait l'hypothèse que l'effectif de la population des 12-18 ans est constant et que l'évolution va rester la même pour les prochaines années.
En 2018, 80 % des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte.
On note, pour tout entier naturel n, la part de la population des 12-18 ans de la ville possédant la carte l'année , et la part de la population des 12-18 ans ne la possédant pas.
Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B où le sommet A représente l'état « posséder une carte jeune » et B l'état « ne pas posséder une carte jeune ».
Lors du renouvellement de la carte, on a constaté que :
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
Déterminer la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre A puis B des sommets.
Notons la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année
La matrice de transition du graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, est : .
Vérifier que et .
En 2018, 80 % des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte donc la matrice ligne de l'état probabiliste initial est : . soit :
donc et .
Interpréter le coefficient 0,552 dans le contexte de l'énoncé.
En 2020, 55,2 % des jeunes de 12-18 ans posséderont la carte.
On note a et b les coefficients de la matrice P correspondant à l'état stable de ce graphe.
Montrer que les nombres a et b sont solutions du système .
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état converge vers un état stable avec et vérifiant :
D'où a et b vérifient la relation . Comme d'autre part, on en déduit que :
a et b sont solutions du système .
Justifier que la mairie peut espérer qu'à l'avenir au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
Détermminons l'état stable du système :
Ainsi, l'état probabiliste converge vers l'état stable .
À partir d'un certain nombre d'années, chaque année, 75 % environ de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
On admet que pour tout entier naturel n, et que la suite est croissante.
On donne l'algorithme suivant dans lequel A est un nombre réel et N est un entier naturel.
Tant que ⋯ faire
A prend la valeur ⋯
N prend la valeur ⋯
Fin Tant que
Recopier puis compléter les pointillés des lignes 3 à 5 de l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche le nombre d'années nécessaires à la mairie pour atteindre son objectif qu'au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
Tant que faire
A prend la valeur
N prend la valeur
Fin Tant que
En quelle année l'objectif sera-t-il atteint ?
méthode 1
On programme l'algorithme sur la calculatrice pour obtenir la réponse.
méthode 2
On calcule les termes de la suite définie par et, pour tout entier n,
Valeur de a | 0,2 | 0,42 | 0,552 | 0,6312 | ||
Valeur de n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Condition | vrai | vrai | vrai | vrai | vrai | FAUX |
méthode 3
À l'aide de la calculatrice, on calcule et
À la fin de l’exécution de l’algorithme, la variable N contient la valeur . L'objectif sera-t-il atteint 2023.
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