Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane 2019

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

La mairie d'une ville propose une carte jeune annuelle donnant droit à des réductions sur les activités culturelles et de loisirs. La mairie espère que dans l'avenir, au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte et si oui, en quelle année cela se produirait.
Ces dernières années, lors du renouvellement de la carte, on a constaté que 10 % des possesseurs de la carte ne la rachètent pas. Dans le même temps, 30 % de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l'année précédente achètent la carte. On fait l'hypothèse que l'effectif de la population des 12-18 ans est constant et que l'évolution va rester la même pour les prochaines années.
En 2018, 80 % des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte.
On note, pour tout entier naturel n, an la part de la population des 12-18 ans de la ville possédant la carte l'année 2018+n, et bn la part de la population des 12-18 ans ne la possédant pas.

partie a

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B où le sommet A représente l'état « posséder une carte jeune » et B l'état « ne pas posséder une carte jeune ».

    Lors du renouvellement de la carte, on a constaté que :

    • 10 % des possesseurs de la carte ne la rachètent pas d'où pAn(Bn+1)=0,1 et pAn(An+1)=1-0,1=0,9.
    • 30 % de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l'année précédente achètent la carte d'où pBn(An+1)=0,3 et pBn(Bn+1)=1-0,3=0,7.

    D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

    Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Déterminer la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre A puis B des sommets.

    Notons Pn=(anbn) la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année 2018+n

    La matrice de transition du graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, Pn+1=Pn×M est : M=(0,90,10,30,7).


    1. Vérifier que a2=0,552 et b2=0,448.

      En 2018, 80 % des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte donc la matrice ligne de l'état probabiliste initial est : P0=(0,20,8). P2=P0×M2 soit : P2=(0,20,8)×(0,90,10,30,7)2=(0,5520,448)

      P2=(0,5520,448) donc a2=0,552 et b2=0,448.


    2. Interpréter le coefficient 0,552 dans le contexte de l'énoncé.

      En 2020, 55,2 % des jeunes de 12-18 ans posséderont la carte.


  3. On note a et b les coefficients de la matrice P correspondant à l'état stable de ce graphe.

    1. Montrer que les nombres a et b sont solutions du système {-0,1a+0,3b=0a+b=1.

      Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état Pn converge vers un état stable P=(ab) avec a+b=1 et vérifiant : (ab)=(ab)×(0,90,10,30,7)(ab)=(0,9a+0,3b0,1a+0,7b)soit{a=0,9a+0,3bb=0,1a+0,7b{0,1a-0,3b=0-0,1a+0,3b=0

      D'où a et b vérifient la relation -0,1a+0,3b=0. Comme d'autre part, a+b=1 on en déduit que :

      a et b sont solutions du système {-0,1a+0,3b=0a+b=1.


    2. Justifier que la mairie peut espérer qu'à l'avenir au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte.

      Détermminons l'état stable du système :{-0,1a+0,3b=0a+b=1{-0,4a=-0,3a+b=1{a=0,75b=0,25

      Ainsi, l'état probabiliste converge vers l'état stable P=(0,750,25).

      À partir d'un certain nombre d'années, chaque année, 75 % environ de la population des 12-18 ans possèdent la carte.


partie b

On admet que pour tout entier naturel n, an+1=0,6an+0,3 et que la suite (an) est croissante.

  1. On donne l'algorithme suivant dans lequel A est un nombre réel et N est un entier naturel.

    A0,2
    N0

    Tant que ⋯ faire
    A prend la valeur ⋯
    N prend la valeur ⋯
    Fin Tant que

    Recopier puis compléter les pointillés des lignes 3 à 5 de l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche le nombre d'années nécessaires à la mairie pour atteindre son objectif qu'au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte.

    A0,2
    N0

    Tant que A<0,7 faire
    A prend la valeur 0,6×A+0,3
    N prend la valeur N+1
    Fin Tant que

  2. En quelle année l'objectif sera-t-il atteint ?

    • méthode 1

      On programme l'algorithme sur la calculatrice pour obtenir la réponse.

    • méthode 2

      On calcule les termes de la suite (an) définie par a0=0,2 et, pour tout entier n, an+1=0,6an+0,3

      Valeur de a0,20,420,5520,63120,6790,707
      Valeur de n012345
      Condition a<0,7 vraivraivraivraivraiFAUX
    • méthode 3

      À l'aide de la calculatrice, on calcule P4=(0,20,8)×(0,90,10,30,7)4(0,6790,321) et P5=(0,20,8)×(0,90,10,30,7)5(0,7070,293)

    À la fin de l’exécution de l’algorithme, la variable N contient la valeur N=5. L'objectif sera-t-il atteint 2023.



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