Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane 2019

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

La partie C est indépendante des parties A et B.

Une grande enseigne décide d'organiser un jeu permettant de gagner un bon d'achat. Le jeu se déroule en deux étapes :

  • Étape 1 : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de 1 à 50, chaque numéro ayant la même probabilité d'être découvert ;

  • Étape 2 :

    • s'il découvre un numéro compris entre 1 et 15, il fait tourner une roue divisée en 10 secteurs de même taille dont 8 secteurs contiennent une étoile ;
    • sinon, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en 10 secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile.

Un bon d'achat est gagné par le client si la roue s'arrête sur une étoile.

partie a

Un client joue à ce jeu. On note :
N l'évènement « Le client découvre un numéro entre 1 et 15» ;
E l'évènement « Le client obtient une étoile ».

    1. Justifier que P(N)=0,3 et que PN(E)=0,8.

      • Chaque numéro ayant la même probabilité d'être découvert on a : P(N)=1550=0,3.
      • Si le client découvre un numéro compris entre 1 et 15, il fait tourner une roue divisée en 10 secteurs de même taille dont 8 secteurs contiennent une étoile d'où PN(E)=810=0,8.

      Ainsi, P(N)=0,3 et que PN(E)=0,8.


    2. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

      • P(N¯)=1-P(N)=1-0,3=0,7 et PN(E¯)=1-PN(E)=1-0,8=0,2.
      • Si le client découvre un numéro supérieur à 15, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en 10 secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile d'où PN¯(E)=110=0,9 et PN¯(E¯)=1-0,1=0,9.

      L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

      Arbre de probabilités : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre 1 et 15 et une étoile.

    P(NE)=PN(E)×P(N)soitP(NE)=0,8×0,3=0,24

    La probabilité que que le client trouve un numéro entre 1 et 15 et une étoile est égale à 0,24.


  2. Justifier que la probabilité que le client gagne un bon d'achat est égale à 0,31.

    D'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
    P(E)=P(NE)+P(N¯E)

    Or :P(N¯E)=PN¯(E)×P(N¯)soitP(N¯E)=0,1×0,7=0,07

    Par conséquent, P(E)=0,24+0,07=0,31

    La probabilité que le client gagne un bon d'achat est égale à 0,31.


  3. Le client a gagné un bon d'achat. Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu un numéro entre 1 et 15 à la première étape ?

    PE(N)=P(NE)P(E)soitPE(N)=0,240,310,774

    Arrondie au millième près, la probabilité qu'un client qui a gagné un bon d'achat ait obtenu un numéro entre 1 et 15 à la première étape est 0,774.


partie b

Le montant d'un bon d'achat est de 10 euros.
Pour ce jeu, le directeur de l'hypermarché a prévu un budget de 250 euros par tranche de 100 clients y participant. Pour vérifier que son budget est suffisant, il simule 100 fois le jeu d'un client à l'aide d'un logiciel.
On appelle X la variable aléatoire qui, à 100 jeux simulés, associe le nombre de bons d'achat gagnés. On admet que X suit une loi binomiale.

  1. Préciser les paramètres de X.

    La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0,31.


  2. Calculer la probabilité pour qu'il y ait exactement 30 clients gagnants.

    À l'aide de la calculatrice, P(X=30)=(10030)×0,3130×(1-0,31)700,085.

    Arrondie à 10-3 près, la probabilité qu'il y ait exactement 30 clients gagnants est 0,085.


  3. Quel est le montant moyen de la somme totale offerte en bons d'achat ?
    Le budget prévisionnel est-il suffisant ?

    L'espérance mathématique de la vraiable variable aléatoire X est :E(X)=0,31×100=31

    Le montant moyen prévisible de la somme totale offerte en bons d'achat est donc :m=31×10=310

    Avec un montant moyen de la somme totale offerte en bons d'achat de 310 euros, le budget prévisionnel de 250 euros n'est pas suffisant.


partie c

La direction de l'hypermarché étudie le temps que les clients passent dans son magasin.
On admet que le temps, exprimé en minute, passé dans ce magasin par un client peut être modélisé par une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance μ=45 et d'écart type σ=5.

  1. Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste entre 30 et 60 minutes.

    La variable aléatoire Y suit la loi normale d'espérance μ=45 et d'écart-type σ=5 donc P(45-3×5Y45+3×5)0,997

    Ainsi, P(30Y60)0,997. La probabilité qu'un client reste entre 30 et 60 minutes dans le magasin est 0,997.


  2. Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste plus de 50 minutes.

    • calcul 1

      La variable aléatoire Y suit la loi normale d'espérance μ=45 et d'écart-type σ=5 donc P(Y>50)=P(Y45)-P(45Y50)=0,5-P(45-5Y45+5)2=0,5-0,68320,159

    • À l'aide de la calculatrice

      P(Y>50)=P(Y45)-P(45Y50)=0,5-P(45Y50)0,159

    Arrondie au millième près, la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste plus de 50 minutes est 0,159.



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