La partie C est indépendante des parties A et B.
Une grande enseigne décide d'organiser un jeu permettant de gagner un bon d'achat. Le jeu se déroule en deux étapes :
Étape 1 : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de 1 à 50, chaque numéro ayant la même probabilité d'être découvert ;
Étape 2 :
Un bon d'achat est gagné par le client si la roue s'arrête sur une étoile.
Un client joue à ce jeu. On note :
N l'évènement « Le client découvre un numéro entre 1 et 15» ;
E l'évènement « Le client obtient une étoile ».
Justifier que et que .
Ainsi, et que .
Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
L'arbre pondéré traduisant cette situation est :
Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre 1 et 15 et une étoile.
La probabilité que que le client trouve un numéro entre 1 et 15 et une étoile est égale à 0,24.
Justifier que la probabilité que le client gagne un bon d'achat est égale à 0,31.
Or :
Par conséquent,
La probabilité que le client gagne un bon d'achat est égale à 0,31.
Le client a gagné un bon d'achat. Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu un numéro entre 1 et 15 à la première étape ?
Arrondie au millième près, la probabilité qu'un client qui a gagné un bon d'achat ait obtenu un numéro entre 1 et 15 à la première étape est 0,774.
Le montant d'un bon d'achat est de 10 euros.
Pour ce jeu, le directeur de l'hypermarché a prévu un budget de 250 euros par tranche de 100 clients y participant. Pour vérifier que son budget est suffisant, il simule 100 fois le jeu d'un client à l'aide d'un logiciel.
On appelle X la variable aléatoire qui, à 100 jeux simulés, associe le nombre de bons d'achat gagnés. On admet que X suit une loi binomiale.
Préciser les paramètres de X.
La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres et .
Calculer la probabilité pour qu'il y ait exactement 30 clients gagnants.
À l'aide de la calculatrice, .
Arrondie à près, la probabilité qu'il y ait exactement 30 clients gagnants est 0,085.
Quel est le montant moyen de la somme totale offerte en bons d'achat ?
Le budget prévisionnel est-il suffisant ?
L'espérance mathématique de la vraiable variable aléatoire X est :
Le montant moyen prévisible de la somme totale offerte en bons d'achat est donc :
Avec un montant moyen de la somme totale offerte en bons d'achat de 310 euros, le budget prévisionnel de 250 euros n'est pas suffisant.
La direction de l'hypermarché étudie le temps que les clients passent dans son magasin.
On admet que le temps, exprimé en minute, passé dans ce magasin par un client peut être modélisé par une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance et d'écart type .
Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste entre 30 et 60 minutes.
La variable aléatoire Y suit la loi normale d'espérance et d'écart-type donc
Ainsi, . La probabilité qu'un client reste entre 30 et 60 minutes dans le magasin est 0,997.
Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste plus de 50 minutes.
calcul 1
La variable aléatoire Y suit la loi normale d'espérance et d'écart-type donc
À l'aide de la calculatrice
Arrondie au millième près, la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste plus de 50 minutes est 0,159.
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