Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane 2019

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Afin de respecter l'accord signé sur la pollution de l'air, certaines entreprises, dès l'année 2014, ont été contraintes de diminuer chaque année la quantité de CO₂ qu'elles produisent.
Une de ces entreprises émettait 15 milliers de tonnes de CO₂ en 2014 et 14,7 milliers de tonnes en 2015.
On suppose que le taux de diminution annuel de CO₂ émis restera constant pendant les années suivantes.

Calculer le taux d'évolution de l'émission de CO₂ par cette entreprise entre 2014 et 2015.
Le coefficient multiplicateur associé au taux d'évolution de l'émission de CO₂ par cette entreprise entre 2014 et 2015 est : $\frac{14,7}{15} = 0,98$ Ce qui correspond à une baisse de 2 %
Entre 2014 et 2015, la quantité de CO₂ émise par cette entreprise a diminué de 2 %.
L'accord prévoit que cette entreprise devra produire moins de 12 milliers de tonnes de CO₂ par an. En détaillant la méthode employée, déterminer à partir de quelle année la quantité de CO₂ émise par cette entreprise passera en dessous de ce seuil de 12 milliers de tonnes.
Soit $u_{n}$ la quantité de CO₂ émise par cette entreprise l'année $2014 + n$ .
Le taux de diminution annuel de CO₂ est de 2 %, donc pour tout entier naturel n, on a $u_{n + 1} = 0,98 u_{n}$ .
$(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,98 et de premier terme $u_{0} = 15$ donc pour tout entier naturel n, on a : $u_{n} = 15 \times {0,98}^{n}$ .
On cherche à déderminer le plus petit entier n solution de l'inéquation : $\begin{array}{rcll} 15 \times {0,98}^{n} < 12 & \Leftrightarrow & {0,98}^{n} < \frac{12}{15} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,98}^{n}) < \ln (0,8) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,98 < \ln 0,8 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,8}{\ln 0,98} & \ln 0,98 < 0 \end{array}$
Or $\frac{\ln 0,8}{\ln 0,98} \approx 11,05$ donc le plus petit entier n solution de l'inéquation $15 \times {0,98}^{n} < 12$ est $n = 12$ .
C'est à partir de 2026 que la quantité de CO₂ émise par cette entreprise passera en dessous du seuil de 12 milliers de tonnes.

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