sujet : Antilles Guyane 2019

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

Dans cette partie les estimations seront obtenues par lecture graphique.

Cette partie A est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

1. Parmi les quatre valeurs ci-dessous, la meilleure valeur approchée du coefficient directeur de la tangente T est :

   Le coefficient directeur m de la droite T est négatif et supérieur à $-1$. Par conséquent la réponse a est la seule susceptible de convenir.

   a.   $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

   b.   $-3$

   c.   3

   d.   ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

2. La fonction f semble :

   La courbe 𝒞 semble en-dessous de ses tangentes sur l’intervalle $\left[-10;-5\right]$ et au-dessus sur $\left[-5;5\right]$. La fonction f semble donc convexe sur l’intervalle $\left[-5;5\right]$.

   a.   concave sur $\left[-5;0\right]$

   b.   concave sur $\left[-10;0\right]$

   c.   convexe sur $\left[-10;5\right]$

   d.   convexe sur $\left[-5;5\right]$

3. L'aire du domaine S, en unité d'aire, appartient à l'intervalle :

   À l'aide du quadrillage, on vérifie que la réponse b : l'aire du domaine S, en unité d'aire, appartient à l'intervalle $\left[4;7\right]$ est la seule susceptible de convenir

   a.   $\left[-4;-2\right]$

   b.   $\left[4;7\right]$

   c.   $\left[0;3\right]$

   d.   $\left[7;10\right]$

partie b

La fonction f précédente, définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-10;5\right]$, a pour expression $f\left(x\right)=\left(x-5\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}+5$.

1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f sur l'intervalle $\left[-10;5\right]$.

   1. Montrer que $f\prime \left(x\right)=\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}$.

      La fonction f est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables : $f=uv+5$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[-10;5\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=x-5& \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}\end{array}$

      Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[-10;5\right]$: $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}+\left(x-5\right)\times \left(\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}\right)\\ & =& \left(1+\mathrm{0,2}\times \left(x-5\right)\right)\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}\\ & =& \left(1+\mathrm{0,2}x-1\right)\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}\\ & =& \mathrm{0,2}x{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[-10;5\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\mathrm{0,2}x{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}$.

      ---

   2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[-10;5\right]$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(\mathrm{0,2}x\right)$. Nous pouvons établir le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ et des variations de f :

      x	$-10$		0		5
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$	$5-15{\mathrm{e}}^{-2}$		0		5

   3. Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente T à 𝒞 au point A d'abscisse $-5$.

      Le coefficient directeur de la tangente T à la courbe 𝒞 au point A d'abscisse $-5$ est égal au nombre dérivé $$f\prime \left(-5\right)=-\mathrm{0,2}\times 5\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}\times 5}=-{\mathrm{e}}^{-1}$$

      La tangente T à la courbe 𝒞 au point A d'abscisse $-5$ a pour coefficient directeur $\left(-{\mathrm{e}}^{-1}\right)$.

      ---

2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

   1	$\begin{array}{l}g\left(x\right)=0.2x*\exp \left(0.2x\right)\\ \to g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{5}}x{\mathrm{e}}^{\frac{1}{5}x}\end{array}$
   2	Dérivée    $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{25}}x{\mathrm{e}}^{\frac{1}{5}x}+{\displaystyle \frac{1}{5}}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{5}x}$

   1. En utilisant ces résultats, justifier que la dérivée seconde de f, notée $f″$, est définie par $f″\left(x\right)=\left(\mathrm{0,2}+\mathrm{0,04}x\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}$.

      D'après le resultat obtenu par le logiciel de calcul formel :$$f″\left(x\right)=\mathrm{0,04}x{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}=\left(\mathrm{0,04}x+\mathrm{0,2}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}$$

      Ainsi, la dérivée seconde de la fonction f, est la fonction $f″$, définie sur l'intervalle $\left[-10;5\right]$ par $f″\left(x\right)=\left(\mathrm{0,2}+\mathrm{0,04}x\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}$.

      ---

   2. Étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle $\left[-10;5\right]$.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$. Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}>0$, $f″\left(x\right)$ est du même signe que $\left(\mathrm{0,2}+\mathrm{0,04}x\right)$. Or $$\begin{array}{rcl}\mathrm{0,2}+\mathrm{0,04}x⩽0& \iff & x⩽-5\end{array}$$

      Nous pouvons en déduire le tableau du signe de $f″\left(x\right)$ :

      x	$-10$		$-5$		5
      $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

      ---

      La fonction f est concave sur l'intervalle $\left[-10;-5\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[-5;5\right]$.

      ---

3. On admet qu'une primitive de f sur l'intervalle $\left[-10;5\right]$ est la fonction F définie par $F\left(x\right)=\left(5x-50\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}+5x$.

   1. Déterminer la valeur exacte de I définie par $I={\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(5\right)-F\left(0\right)\\ & =& \left(-25{\mathrm{e}}^1+25\right)-\left(-50{\mathrm{e}}^0\right)\\ & =& -25\mathrm{e}+25+50\\ & =& 75-25\mathrm{e}\end{array}$$

      $I={\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=75-25\mathrm{e}$.

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   2. Montrer que l'aire du domaine du plan situé sous la droite 𝒟, au-dessus de l'axe des abscisses et limité par la droite d'équation $x=5$ vaut 12,5 unités d'aire.

      La droite 𝒟 a pour équation $y=x$. Par conséquent, le domaine du plan situé sous la droite 𝒟, au-dessus de l'axe des abscisses et limité par la droite d'équation $x=5$ est un triangle rectangle dont les côtés perpendiculaires ont pour mesure 5. Son aire est donc : $$𝒜={\displaystyle \frac{5\times 5}{2}}=\mathrm{12,5}$$

      L'aire du domaine du plan situé sous la droite 𝒟, au-dessus de l'axe des abscisses et limité par la droite d'équation $x=5$ vaut 12,5 unités d'aire.

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   3. En déduire une valeur approchée de l'aire du domaine S en unité d'aire.

      $f\left(0\right)=0$ et $f\left(5\right)=5$. Sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ la fonction f est convexe donc la courbe 𝒞 est située en dessous du segment passant par les points de coordonnées $\left(0;0\right)$ et $\left(5;5\right)$.
      On en déduit que sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ on a $f\left(x\right)⩽x$. Par conséquent, exprimé en unités d'aire, l'aire du domaine S situé entre la droite 𝒟, la courbe 𝒞 et les droites d'équation $x=0$ et $x=5$ est :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^5\left(x-f\left(x\right)\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\int }_0^{5}x\mathrm{d}x}-{\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\\ & =& \mathrm{12,5}-\left(75-25\mathrm{e}\right)\\ & =& 25\mathrm{e}-\mathrm{62,5}\end{array}$$

      L'aire du domaine S vaut $25\mathrm{e}-\mathrm{62,5}\approx \mathrm{5,457}$ unités d'aire.

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