Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2019

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

  1. Pour tout événement E, on note E¯ l'événement contraire de E.

    On considère l'arbre pondéré suivant :

    Arbre de probabilités : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Affirmation 1 : La probabilité de R¯ sachant S est 0,06.

    PS(R¯)=P(SR¯)P(S). Or P(S)=P(SR)+P(SR¯) avec : {P(SR)=PR(S)×P(R)P(SR¯)=PR¯(S)×P(R¯). On en déduit que :PS(R¯)=PR¯(S)×P(R¯)PR(S)×P(R)+PR¯(S)×P(R¯)soitPS(R¯)=0,2×0,30,4×0,7+0,2×0,3=3170,176

    L'affirmation 1 est fausse.


  2. Soit k un réel tel que 0k<18. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [k;18]. On suppose que l'espérance de X est égale à 12.

    Affirmation 2 : La valeur de k est 9.

    X suit la loi uniforme sur l'intervalle [k;18] d'où E(X)=1218+k2=12k=24-18=6

    L'affirmation 2 est fausse.


  3. On considère l'équation suivante :ln(x2)-ln(x5e)+ln(2)=ln(2x)+5

    Affirmation 3 :1e est l'unique solution de cette équation.

    Pour tout réel x strictement positif :ln(x2)-ln(x5e)+ln(2)=ln(2x)+52ln(x)-(5ln(x)-ln(e))+ln(2)=ln(2)+ln(x)+52ln(x)-5ln(x)+1-ln(x)=5-4ln(x)=4ln(x)=-1x=1e

    L'affirmation 3 est vraie.


  4. Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle [0;15]. On suppose que sa fonction dérivée, notée f, est continue sur [0;15]. Les variations de f sont représentées dans le tableau ci-dessous.

    x0515
    f(x)

    30

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -5

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    20

    Affirmation 4 : La courbe représentative 𝒞f de la fonction f admet une et une seule tangente parallèle à l'axe des abscisses.

    La fonction f est continue. Par application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, d'après les valeurs du tableau de variation, sur chacun des intervalles où la fonction f est monotone l'équation f(x)=0 admet une solution unique.

    x0515
    f(x)

    30

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -5

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    20

    L'équation f(x)=0 admet deux solutions donc la courbe 𝒞f admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses.

    L'affirmation 4 est fausse.


    Affirmation 5 : La fonction f est convexe sur [5;15].

    La fonction f est croissante sur l'intervalle [5;15] donc la fonction f est convexe sur [5;15].

    L'affirmation 5 est vraie.



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