Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
Pour tout événement E, on note l'événement contraire de E.
On considère l'arbre pondéré suivant :
Affirmation 1 : La probabilité de sachant S est 0,06.
. Or avec : . On en déduit que :
L'affirmation 1 est fausse.
Soit k un réel tel que . Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle . On suppose que l'espérance de X est égale à 12.
Affirmation 2 : La valeur de k est 9.
X suit la loi uniforme sur l'intervalle d'où
L'affirmation 2 est fausse.
On considère l'équation suivante :
Affirmation 3 : est l'unique solution de cette équation.
Pour tout réel x strictement positif :
L'affirmation 3 est vraie.
Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle . On suppose que sa fonction dérivée, notée , est continue sur . Les variations de sont représentées dans le tableau ci-dessous.
x | 0 | 5 | 15 | ||
30 | 20 |
Affirmation 4 : La courbe représentative de la fonction f admet une et une seule tangente parallèle à l'axe des abscisses.
La fonction est continue. Par application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, d'après les valeurs du tableau de variation, sur chacun des intervalles où la fonction est monotone l'équation admet une solution unique.
x | 0 | 5 | 15 | ||
30 | 20 |
L'équation admet deux solutions donc la courbe admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses.
L'affirmation 4 est fausse.
Affirmation 5 : La fonction f est convexe sur .
La fonction est croissante sur l'intervalle donc la fonction f est convexe sur .
L'affirmation 5 est vraie.
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