sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2019

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

1. 1. Traduire ces informations à l'aide d'un graphe probabiliste dont les sommets seront notés D et R.

      D'une jour sur l'autre :

      • Lorsque Julie emprunte la voie rapide un jour, la probabilité qu'elle emprunte le même itinéraire le lendemain est de 0,6 d'où $p_{R_n}\left(R_{n+1}\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_{R_n}\left(D_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$.
      • Lorsque Julie emprunte les routes départementales un jour, la probabilité qu'elle emprunte la voie rapide le lendemain est de 0,2 d'où $p_{D_n}\left(R_{n+1}\right)=\mathrm{0,2}$ et $p_{D_n}\left(D_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$.

      D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

   2. Donner la matrice de transition M correspondant au graphe probabiliste. Les sommets du graphe seront rangés dans l'ordre alphabétique.

      La matrice de transition du graphe probabiliste est : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)$.

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2. Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, l'état probabiliste le n-ième jour est défini par la matrice $P_n=\left(\begin{array}{cc}{d}_n& r_n\end{array}\right)$ où $d_n$ désigne la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le n-ième jour et $r_n$ la probabilité que Julie emprunte la voie rapide le n-ième jour.

   1. Donner $P_1$.

      Le premier jour, Julie emprunte la voie rapide d'où : $P_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)$.

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   2. Calculer $M^2$ et en déduire la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le 3^e jour.

      $$M^2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,8}+\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,4}& \mathrm{0,8}\times \mathrm{0,2}+\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,6}\\ \mathrm{0,4}\times \mathrm{0,8}+\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,4}& \mathrm{0,4}\times \mathrm{0,2}+\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,6}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,72}& \mathrm{0,28}\\ \mathrm{0,56}& \mathrm{0,44}\end{array}\right)$$

      La matrice traduisant l'état probabiliste du 3^e jour est $P_3=P_1\times M^2$ soit : $$\begin{array}{ccccc}{P}_3& =& \left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,72}& \mathrm{0,28}\\ \mathrm{0,56}& \mathrm{0,44}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,56}& \mathrm{0,44}\end{array}\right)\end{array}$$

      La probabilité que Julie emprunte les routes départementales le 3^e jour est égale à 0,56.

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3. 1. Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$ et en déduire les expressions de $d_{n+1}$ et $r_{n+1}$ en fonction de $d_n$ et $r_n$.

      Pour tout entier naturel n non nul, $P_{n+1}=P_n\times M$. Soit pour tout entier naturel n non nul : $$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{cc}{d}_{n+1}& r_{n+1}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}{d}_n& r_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}{d}_n\times \mathrm{0,8}+r_n\times \mathrm{0,4}& d_n\times \mathrm{0,2}+r_n\times \mathrm{0,6}\end{array}\right)\end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n non nul : $d_{n+1}=\mathrm{0,8}{d}_n+\mathrm{0,4}{r}_n$ et $d_{n+1}=\mathrm{0,2}{d}_n+\mathrm{0,6}{r}_n$.

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   2. Parmi les algorithmes suivants, lequel donne les termes $d_3$ et $r_3$ ?

      Algorithme 1		Algorithme 2		Algorithme 3
      $\begin{array}{l}D\leftarrow 0\\ R\leftarrow 1\end{array}$ Pour N allant de 1 à 3 $\begin{array}{l}D\leftarrow \mathrm{0,8}D+\mathrm{0,4}R\\ R\leftarrow \mathrm{0,2}D+\mathrm{0,6}R\end{array}$ Fin Pour		$\begin{array}{l}D\leftarrow 0\\ R\leftarrow 1\end{array}$ Pour N allant de 1 à 3 $\begin{array}{l}D\leftarrow \mathrm{0,8}D+\mathrm{0,4}R\\ R\leftarrow 1-D\end{array}$ Fin Pour		$\begin{array}{l}D\leftarrow 0\\ R\leftarrow 1\end{array}$ Pour N allant de 2 à 3 $\begin{array}{l}D\leftarrow \mathrm{0,8}D+\mathrm{0,4}R\\ R\leftarrow 1-D\end{array}$ Fin Pour

      On ne veut calculer que $d_2$ et $d_3$ donc l'algorithme 3 est le seul qui convienne.

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4. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, $r_{n+1}=\mathrm{0,4}{r}_n+\mathrm{0,2}$.

   Pour tout entier naturel n non nul, $d_n+r_n=1$ d'où pour tout entier naturel n non nul : $$\begin{array}{rcl}{r}_{n+1}& =& \mathrm{0,2}\times \left(1-r_n\right)+\mathrm{0,6}{r}_n\\ & =& \mathrm{0,2}-\mathrm{0,2}{r}_n+\mathrm{0,6}{r}_n\\ & =& \mathrm{0,4}{r}_n+\mathrm{0,2}\end{array}$$

   Ainsi, pour tout entier naturel n non nul, $r_{n+1}=\mathrm{0,4}{r}_n+\mathrm{0,2}$.

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5. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=r_n-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ pour tout entier naturel n non nul.

   1. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_1$.

      Pour tout entier n non nul, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& r_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\hfill \\ & =& \mathrm{0,4}{r}_n+{\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\hfill \\ & =& \mathrm{0,4}{r}_n-{\displaystyle \frac{2}{15}}\hfill \\ & =& \mathrm{0,4}\times \left(r_n-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,4}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n non nul, $v_{n+1}=\mathrm{0,4}{u}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,4 et dont le premier terme $v_1=r_1-{\displaystyle \frac{1}{3}}=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

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   2. Exprimer $v_n$ en fonction de n puis démontrer que, pour tout entier naturel n non nul :$$r_n={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\mathrm{0,4}}^{n-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{5}{3}}\times {\mathrm{0,4}}^n$$

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_1={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et de raison 0,4 donc pour tout entier naturel n non nul, $$\begin{array}{rcl}{v}_n& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\mathrm{0,4}}^{n-1}\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\mathrm{0,4}}^n\times {\mathrm{0,4}}^{-1}\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\mathrm{0,4}}^n\times {\displaystyle \frac{5}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5}{3}}\times {\mathrm{0,4}}^n\end{array}$$.

      Comme pour tout entier naturel n non nul, $v_n=r_n-{\displaystyle \frac{1}{3}}\iff r_n=v_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}$ on en déduit que :

      pour tout entier natureln non nul, $r_n={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{5}{3}}\times {\mathrm{0,4}}^n$.

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   3. Que peut-on prévoir à long terme ?

      $0<\mathrm{0,4}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,4}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{5}{3}}\times {\mathrm{0,4}}^n=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{5}{3}}\times {\mathrm{0,4}}^n={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{r}_n={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

      À partir d'un certain nombre jours, la probabilité que Julie emprunte la voie rapide est proche de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

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