sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2019

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Un ébéniste décide de refaire les accoudoirs d'un fauteuil (ébauche du fauteuil en annexe 1).
On modélise l'accoudoir à l'aide de la fonction f définie sur $\left[0;60\right]$ par :$$f\left(x\right)=70+\left(14x+42\right){\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}$$ La courbe représentative de f, notée ${𝒞}_f$ est donnée en annexe 2.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left[0;60\right]$. On note $f\prime$ sa fonction dérivée et $f″$ sa fonction dérivée seconde.

partie a

Dans toute cette partie, les réponses sont obtenues graphiquement à partir de la courbe représentative de f donnée en annexe 2.

On admet que le point A de ${𝒞}_f$ d'abscisse 7 est un point d'inflexion de ${𝒞}_f$.

1. Déterminer une valeur approchée de $f\left(0\right)$ et $f\left(60\right)$.

   Avec la précision permise par le graphique, $f\left(0\right)\approx 110$ et $f\left(60\right)\approx 70$.

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2. Déterminer $f″\left(7\right)$.

   Le point A d'abscisse 7 est un point d'inflexion donc $f″\left(7\right)=0$.

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3. On considère la surface située entre l'axe des abscisses, la courbe ${𝒞}_f$, et les droites d'équation $x=0$ et $x=60$.

   1. Hachurer la surface décrite ci-dessus sur l'annexe 2.

   2. L'ébéniste estime l'aire de cette surface à 3800 unités d'aire. Cette estimation est-elle correcte ?

      L'aire de la partie hachurée est supérieure à l'aire d'un rectangle de côtés 60 et 70. Par conséquent, l'aire de la partie hachurée est supérieure à $60\times 70=4200$ unités d'aire donc l'estimation de l'ébéniste n'est pas correcte.

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partie b

1. Justifier que pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;60\right]$ on a : $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{5}}\left(-14x+28\right){\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}$.

   La fonction f est dérivable comme somme et produit de deux fonctions dérivables : $f=70+uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;60\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=14x+42& \text{;}& u\prime \left(x\right)=14\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{5}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}\end{array}$.

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;60\right]$, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& 14\times {\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}+\left(14x+42\right)\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{5}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}\right)\\ & =& \left(14-{\displaystyle \frac{1}{5}}\times \left(14x+42\right)\right)\times {\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}\\ & =& \left(14-{\displaystyle \frac{14x}{5}}-{\displaystyle \frac{42}{5}}\right)\times {\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}\\ & =& \left({\displaystyle \frac{28-14x}{5}}\right)\times {\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;60\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{5}}\left(-14x+28\right){\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}$.

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2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;60\right]$.

      Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}>0$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(-14x+28\right)$. Or $$\begin{array}{rcl}-14x+28⩽0& \iff & x⩾2\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime \left(x\right)⩽0$ sur l'intervalle $\left[2;60\right]$ et $f\prime \left(x\right)⩾0$ sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

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   2. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;60\right]$.
      On arrondira à l'unité près les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de signe de $f\prime$ et des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;60\right]$ :

      x	0		2		60
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	112		$\approx 117$		$\approx 70$

3. Un logiciel de calcul formel permet d'afficher les lignes suivantes :

   1	$\begin{array}{l}\text{Dérivée}\left(\text{Dérivée}\left(70+\left(14x+42\right){\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}\right)\right)\\ \to {\displaystyle \frac{1}{25}}\left(14x+42\right){\mathrm{e}}^{-\frac{1}{5}x}-{\displaystyle \frac{28}{5}}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{5}x}\end{array}$
   2	$\begin{array}{l}\text{Factoriser}\left({\displaystyle \frac{1}{25}}\left(14x+42\right){\mathrm{e}}^{-\frac{1}{5}x}-{\displaystyle \frac{28}{5}}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{5}x}\right)\\ \to 14{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{5}x}.{\displaystyle \frac{x-7}{25}}\end{array}$

   En utilisant les résultats ci-dessus, étudier la convexité de f.

   D'après le resultat obtenu à l'aide du logiciel de calcul formel : la dérivée seconde de la fonction f est la fonction $f″$ définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;60\right]$ par $f″\left(x\right)=14{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}\times {\displaystyle \frac{x-7}{25}}$.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$. Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}>0$, $f″\left(x\right)$ est du même signe que ${\displaystyle \frac{x-7}{25}}$. Or $$\begin{array}{rcl}x-7⩽0& \iff & x⩽7\end{array}$$

   Nous pouvons en déduire le tableau du signe de $f″\left(x\right)$ :

   x	0		7		60
   $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

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   La fonction f est concave sur l'intervalle $\left[0;7\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[7;60\right]$.

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4. Pour tout nombre réel de l'intervalle $\left[0;60\right]$, on pose : $g\left(x\right)=\left(14x+42\right){\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}$ et $G\left(x\right)=\left(-70x-560\right){\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}$.

   1. Montrer que G est une primitive de g sur l'intervalle $\left[0;60\right]$.

      La fonction G est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $G=uv$ d'où $G\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;60\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=-70x-560& \text{;}& u\prime \left(x\right)=-70\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{5}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}\end{array}$.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;60\right]$, $$\begin{array}{rcl}G\prime \left(x\right)& =& -70\times {\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}+\left(-70x-560\right)\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{5}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}\right)\\ & =& \left(-70-{\displaystyle \frac{1}{5}}\times \left(-70x-560\right)\right)\times {\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}\\ & =& \left(-70+14x+112\right)\times {\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}\\ & =& \left(14x+42\right)\times {\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}\end{array}$$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;60\right]$ on a $G\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$ donc la fonction G est une primitive de g sur l'intervalle $\left[0;60\right]$.

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   2. En déduire une primitive de f sur l'intervalle $\left[0;60\right]$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;60\right]$ on a $f\left(x\right)=g\left(x\right)+70$ donc une primitive de f sur l'intervalle $\left[0;60\right]$ est la fonction F définie par $F\left(x\right)=G\left(x\right)+70x$.

      La fonction F définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;60\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-70x-560\right){\mathrm{e}}^{-\frac{x}{5}}+70x$ est une primitive de la fonction f.

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   3. Calculer la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_0^{60}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$, puis en donner une valeur approchée à l'unité d'aire près.

      $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^{60}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(60\right)-F\left(0\right)\\ & =& \left(4200-4760{\mathrm{e}}^{-12}\right)-\left(-560\right)\\ & =& 4760-4760{\mathrm{e}}^{-12}\end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_0^{60}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=4760-4760{\mathrm{e}}^{-12}\approx 4760$ unités d'aire.

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partie c

L'ébéniste découpe 2 accoudoirs identiques sur le modèle de la surface hachurée de l'annexe 2 en choisissant comme unité le cm.
Il souhaite vernir les deux faces de chaque accoudoir (annexe 1) ainsi que le dossier du fauteuil dont l'aire est égale à $5400{\mathrm{cm}}^2$. Or il lui reste le quart d'un petit pot de vernis pouvant couvrir $10{\mathrm{m}}^2$. Aura-t-il suffisamment de vernis ?

Avec la quantité de vernis qui reste dans le pot l'ébéniste peut recouvrir ${\displaystyle \frac{1}{4}}\times 10=\mathrm{2,5}{\mathrm{m}}^2$.

L'aire totale de la surface à recouvrir est : $4760\times 4+5400=24440{\mathrm{cm}}^2$. Soit environ $\mathrm{2,444}{\mathrm{m}}^2$

La surface à vernir a une aire inférieure à $\mathrm{2,5}{\mathrm{m}}^2$ par conséquent, l'ébéniste a suffisamment de vernis.

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annexe 1 : ébauche du fauteuil

annexe 2

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