Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.
Les résultats seront arrondis au centième.
Les cours d'eau français sont surveillés quotidiennement afin de prévenir la population en cas de crue ou de pénurie d'eau.
Dans une station hydrométrique, on mesure le débit quotidien d'une rivière.
Ce débit en mètre cube par seconde peut être modélisé par une variable aléatoire D qui suit la loi normale de paramètres et .
On estime qu'il y a pénurie d'eau lorsque le débit de la rivière est inférieur à .
On estime qu'il y a un risque de crue lorsque le débit est supérieur à .
Entre ces deux débits, il n'y a pas de vigilance particulière.
Calculer la probabilité qu'il y ait pénurie d'eau.
Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou
La probabilité qu'il y ait pénurie d'eau est d'environ 0,11.
Calculer la probabilité qu'il n'y ait pas de vigilance particulière.
À l'aide de la calculatrice :
La probabilité qu'il n'y ait pas de vigilance particulière est d'environ 0,85.
Justifier, sans utiliser la calculatrice, que la probabilité que le débit observé soit compris entre et est d'environ 0,95.
La variable aléatoire D suit la loi normale de paramètres et alors, . Soit avec un arrondi au centième :
Ainsi, la probabilité que le débit observé soit compris entre et est d'environ 0,95.
Deux équipes effectuent les relevés de débit du cours d'eau sur la station hydrométrique. Sébastien appartient à la première équipe.
Un quart des relevés est effectué par l'équipe de Sébastien, le reste par la seconde équipe.
On choisit 10 relevés au hasard sur l'ensemble des relevés de la station, ensemble qui est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à 10 tirages avec remise. On s'intéresse au nombre de relevés effectués par l'équipe de Sébastien parmi ces 10 relevés.
Quelle loi de probabilité modélise cette situation? Préciser les paramètres de cette loi.
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de relevés effectués par l'équipe de Sébastien parmi les 10 relevés.
Un quart des relevés est effectué par l'équipe de Sébastien donc la probabilité qu'un relevé soit effectué par l'équipe de Sébastien est .
Le choix des 10 relevés est assimilé à un tirage avec remise donc la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres et .
Calculer la probabilité que 4 relevés exactement soient effectués par l'équipe de Sébastien.
À l'aide de la calculatrice, .
La probabilité que 4 relevés exactement soient effectués par l'équipe de Sébastien est d'environ 0,15.
Calculer la probabilité qu'au moins 2 relevés soient effectués par l'équipe de Sébastien.
À l'aide de la calculatrice, .
La probabilité qu'au moins 2 relevés soient effectués par l'équipe de Sébastien est d'environ 0,76.
Ces relevés sont utilisés pour tester la qualité de l'eau : « satisfaisante » ou « non satisfaisante ». On s'intéresse à la proportion de relevés de qualité « satisfaisante ».
Combien, au minimum, faut-il effectuer de relevés pour obtenir un intervalle au niveau de confiance de 95 % dont l'amplitude est inférieure à 0,1 ?
Soit f la fréquence observée de relevés de qualité « satisfaisante » dans un échantillon de taille n.
Sous les conditions usuelles d'approximation , et , l'intervalle est un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion inconnue p de relevés de qualité « satisfaisante » dans l'ensemble des relevés.
La précision de l'estimation de la proportion inconnue p est . Pour tout entier naturel n :
Il faut pélever plus de 400 relevés pour obtenir une estimation de la proportion p de relevés de qualité « satisfaisante » avec une précision inférieure à 0,1.
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