Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2019

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

En 2018, Laurence, souhaitant se lancer dans l'agriculture biologique, a acheté une ferme de 14 hectares de pommiers. Elle estime qu'il y a 300 pommiers par hectare. Chaque année, Laurence élimine 4 % des pommiers existants et replantera 22 nouveaux pommiers par hectare.
Pour tout entier naturel n, on note $u_{n}$ le nombre de pommiers par hectare l'année $(2018 + n)$ . On a ainsi $u_{0} = 300$ .

1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a $u_{n + 1} = 0,96 u_{n} + 22$ .
  Le coefficient multiplicateur associé à une perte de 4 % est : $1 - \frac{4}{100} = 0,96$ Soit $u_{n}$ le nombre de pommiers par hectare l'année $(2018 + n)$ . Le nombre de pommiers par hectare l'année suivante s'obtient à l'aide du montage suivant :
  $u_{n} \overset{\times 0,96 ( élimination de 4 % des pommiers )}{\to} 0,96 u_{n} \overset{+ 22 ( plantation de 22 pommiers )}{\to} \underset{u_{n + 1}}{\underset{⏟}{0,96 u_{n} + 22}}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $u_{n + 1} = 0,96 u_{n} + 22$ .
2. Estimer le nombre de pommiers par hectare, arrondi à l'unité, en 2020.
  $\begin{array}{l} u_{1} = 300 \times 0,96 + 22 = 310 \\ u_{2} = 310 \times 0,96 + 22 = 319,6 \end{array}$ .
  En 2020, il y aura 320 pommiers par hectare.
Laurence veut savoir à partir de quelle année la densité de pommiers dépassera 400 pommiers par hectare. Pour cela on utilise l'algorithme suivant :
1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessus pour qu'il détermine le rang de l'année cherchée.
  $N \leftarrow 0$
  $U \leftarrow 300$
  Tant que $U ⩽ 400$
  $N \leftarrow N + 1$
  $U \leftarrow U \times 0,96 + 22$
  Fin Tant que
2. Quelle est la valeur de N en sortie d'algorithme ?
  On peut programmer l'algorithme précédent sur la calculatrice ou calculer les termes successifs de la suite $(u_{n})$ on a : $u_{12} \approx 396,8$ et $u_{13} \approx 402$ .
  À la fin de l’exécution de l’algorithme, la variable N contient la valeur $N = 13$ .
On définit la suite $(v_{n})$ en posant $v_{n} = u_{n} - 550$ pour tout entier naturel n.
1. Démontrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_{0}$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 550 \\ = & 0,96 u_{n} + 22 - 550 \\ = & 0,96 u_{n} - 528 \\ = & 0,96 \times (u_{n} - 550) \\ = & 0,96 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,96 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,96 et dont le premier terme $v_{0} = 300 - 550 = - 250$ .
2. Pour tout entier naturel n, exprimer $v_{n}$ en fonction de n puis démonter que : $u_{n} = 550 - 250 \times {0,96}^{n}$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme $v_{0} = - 250$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_{n} = - 250 \times {0,96}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 550 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 550$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 550 - 250 \times {0,96}^{n}$ .
3. Estimer le nombre de pommiers de l'exploitation de Laurence en 2025.
  L'exploitation de Laurence a une superficie de 14 hectares : $14 \times u_{7} = 14 \times (550 - 250 \times {0,96}^{7}) \approx 5070$
  En 2025, il y aura environ 5 070 pommiers.
4. En résolvant l'inéquation $u_{n} > 400$ , retrouver le résultat obtenu à la question 2.b.
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 550 - 250 \times {0,96}^{n} > 400 & \Leftrightarrow & - 250 \times {0,96}^{n} > - 150 \\ \Leftrightarrow & {0,96}^{n} < \frac{150}{250} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,96}^{n}) < \ln (0,6) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln (0,96) < \ln (0,6) & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln (0,6)}{\ln (0,96)} & \ln (0,96) < 0 \end{array}$
  Or $\frac{\ln (0,6)}{\ln (0,96)} \approx 12,5$ donc les solutions entières de l'inéquation $u_{n} > 400$ sont les entiers $n ⩾ 13$ .
  Le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} > 400$ est $n = 13$ . On retrouve le résultat obtenu avec l'algorithme.

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