sujet : Liban 2019

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

1. Soit u la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par : $u\left(x\right)=3\ln \left(x\right)-2x+1$.
   Soit ${𝒞}_u$ la courbe représentative de la fonction u dans un repère.

   Affirmation 1 :$y=x-2$ est l'équation réduite de la tangente à ${𝒞}_u$ au point d'abscisse 1.

   Une équation de la tangente à la courbe ${𝒞}_u$ au point d'abscisse 1 est : $$y=u\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+u\left(1\right)$$

   La dérivée de la fonction u est la fonction $u\prime$ définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par : $u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{x}}-2$. D'où $u\prime \left(1\right)=1$.
   Comme d'autre part, $u\left(1\right)=3\ln \left(1\right)-2+1=-1$, on en déduit que la tangente à ${𝒞}_u$ au point d'abscisse 1 a pour équation : $$y=\left(x-1\right)-1\iff y=x-2$$

   L'affirmation 1 est vraie.

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2. Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{e};{\mathrm{e}}^2\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}\ln \left(x\right)$.
   On admet que la fonction $x\mapsto x\ln \left(x\right)-x$ est une primitive de la fonction $x\mapsto \ln \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{e};{\mathrm{e}}^2\right]$.

   Affirmation 2 :f est une fonction de densité sur $\left[\mathrm{e};{\mathrm{e}}^2\right]$.

   Vérifions si la fonction f définie pour tout réel x de l’intervalle $\left[\mathrm{e};{\mathrm{e}}^2\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}\ln \left(x\right)$ est une fonction de densité de probabilité sur $\left[\mathrm{e};{\mathrm{e}}^2\right]$.

   • La fonction f est dérivable donc continue sur $\left[\mathrm{e};{\mathrm{e}}^2\right]$.

   • Pour tout réel x : $${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}\ln \left(x\right)⩾0\iff \ln \left(x\right)⩾0\iff x⩾\mathrm{e}$$ donc la fonction f est positive sur $\left[\mathrm{e};{\mathrm{e}}^2\right]$.

   • Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $\left[\mathrm{e};{\mathrm{e}}^2\right]$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}\times \left(x\ln \left(x\right)-x\right)$ d'où $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left({\mathrm{e}}^2\right)-F\left(\mathrm{e}\right)\\ & =& \left({\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}\times \left({\mathrm{e}}^2\times \ln \left({\mathrm{e}}^2\right)-{\mathrm{e}}^2\right)\right)-\left({\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}\times \left(\mathrm{e}\times \ln \left(\mathrm{e}\right)-\mathrm{e}\right)\right)\\ & =& \left({\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}\times \left(2{\mathrm{e}}^2-{\mathrm{e}}^2\right)\right)-\left({\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}\times \left(\mathrm{e}-\mathrm{e}\right)\right)\\ & =& 1\end{array}$$

   Ainsi, la fonction f est continue, positive et ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=1$ donc f est une fonction de densité sur $\left[\mathrm{e};{\mathrm{e}}^2\right]$.

   L'affirmation 2 est vraie.

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3. Soit g la fonction définie sur $ℝ$ par : $g\left(x\right)=3{\mathrm{e}}^{-2x+1}$.

   Affirmation 3 : La fonction G définie sur $ℝ$ par $G\left(x\right)=-6{\mathrm{e}}^{-2x+1}+6$ est la primitive de g qui s'annule en ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   La dérivée de la fonction G est la fonction $G\prime$ définie sur $ℝ$ par : $G\prime \left(x\right)=12{\mathrm{e}}^{-2x+1}$. Pour tout réel x, on a $G\prime \left(x\right)\ne g\left(x\right)$ donc la fonction G n'est pas une primitive de la fonction g.

   L'affirmation 3 est fausse.

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4. Soit h la fonction définie sur l'intervalle $\left[-8;-\mathrm{0,5}\right]$ par : $h\left(x\right)={\displaystyle \frac{4x+1}{x^2}}$.

   Affirmation 4 : La fonction h est concave sur l'intervalle $\left[-8;-\mathrm{0,75}\right]$.

   La convexité de la fonction h se déduit du signe de sa dérivée seconde.

   • Calculons la dérivée $h\prime$ de la fonction h :

     Sur l'intervalle $\left[-8;-\mathrm{0,5}\right]$ la fonction h est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $h={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $h\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[-8;-\mathrm{0,5}\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=4x+1\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=4\hfill \\ v\left(x\right)=x^2\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=2x\hfill \end{array}$

     Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[-8;-\mathrm{0,5}\right]$, $$\begin{array}{rcl}h\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{4x^2-\left(4x+1\right)\times 2x}{x^4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-4x^2-2x}{x^4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-4x-2}{x^3}}\end{array}$$

   • Calculons la dérivée seconde $h″$ de la fonction h :

     $h\prime ={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $h″={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[-8;-\mathrm{0,5}\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=-4x-2\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-4\hfill \\ v\left(x\right)=x^3\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=3x^2\hfill \end{array}$

     Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[-8;-\mathrm{0,5}\right]$, $$\begin{array}{rcl}h″\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{-4x^3-\left(-4x-2\right)\times 3x^2}{x^6}}\\ & =& {\displaystyle \frac{8x^3+6x^2}{x^6}}\\ & =& {\displaystyle \frac{8x+6}{x^4}}\end{array}$$

   • Étudions le signe de la dérivée seconde $h″$ définie sur $\left[-8;-\mathrm{0,5}\right]$ par $h″\left(x\right)={\displaystyle \frac{8x+6}{x^4}}$.

     Or pour tout réel x, $x^4⩾0$ par conséquent, $h″\left(x\right)$ est du même signe que $8x+6$ sur l'intervalle $\left[-8;-\mathrm{0,5}\right]$. D'où le tableau de signe de $h″\left(x\right)$ :

     x	$-8$		$-{\displaystyle \frac{3}{4}}$		$-\mathrm{0,5}$
     $h″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   Ainsi, la fonction h est concave sur l'intervalle $\left[-8;-\mathrm{0,75}\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[-\mathrm{0,75};-\mathrm{0,5}\right]$.

   L'affirmation 4 est vraie.

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