sujet : Liban 2019

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[-4;10\right]$ par : $f\left(x\right)=1+\left(-4x^2-10x+8\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f.
   Montrer que, pour tout réel x de l'intervalle $\left[-4;10\right]$ : $f\prime \left(x\right)=\left(2x^2-3x-14\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

   La fonction f est dérivable comme somme et produit de deux fonctions dérivables : $f=1+uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[-4;10\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=-4x^2-10x+8& \text{;}& u\prime \left(x\right)=-8x-10\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\end{array}$.

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[-4;10\right]$, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& \left(-8x-10\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+\left(-4x^2-10x+8\right)\times \left(-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\right)\\ & =& \left(\left(-8x-10\right)-\mathrm{0,5}\times \left(-4x^2-10x+8\right)\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\\ & =& \left(-8x-10+2x^2+5x-4\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\\ & =& \left(2x^2-3x-14\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[-4;10\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(2x^2-3x-14\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

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2. Dresser, en justifiant, le tableau des variations de f sur l'intervalle $\left[-4;10\right]$.
   On donnera les valeurs exactes des éléments du tableau.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}>0$, on en déduit que $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $P\left(x\right)=2x^2-3x-14$ sur l'intervalle $\left[-4;10\right]$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-4\times 2\times \left(-14\right)=121={11}^2$. $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{3-11}{4}}=-2& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{3+11}{4}}={\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}$$

   D'où le tableau de signe de $f\prime$ et des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[-4;10\right]$ :

   x	$-4$		$-2$		${\displaystyle \frac{7}{2}}$		10
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$	$1-16{\mathrm{e}}^2$		$1+12\mathrm{e}$		$1-76{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,75}}$		$1-492{\mathrm{e}}^{-5}$;

3. 1. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α sur l'intervalle $\left[-4;-2\right]$.

      $f\left(-4\right)=1-16{\mathrm{e}}^2\approx -\mathrm{117,2}$ et $f\left(-2\right)=1+12\mathrm{e}\approx \mathrm{33,6}$.

      Sur l'intervalle $\left[-4;-2\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f\left(-4\right)<0<f\left(-2\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. sur cet intervalle, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α.

      Sur l'intervalle $\left[-4;-2\right]$, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[-4;-2\right]$.

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   2. On considère l'algorithme suivant.

      $a\leftarrow -4$
      $b\leftarrow -2$

      Tant que $\left(b-a\right)>{10}^{-1}$
      $m\leftarrow {\displaystyle \frac{a+b}{2}}$
      $p\leftarrow f\left(a\right)\times f\left(m\right)$
      Si $p>0$ alors
        $a\leftarrow m$
      Sinon
        $b\leftarrow m$
      Fin Si
      Fin Tant que

      Recopier et compléter la deuxième ligne du tableau ci-dessous correspondant au deuxième passage dans la boucle.

      	m	signe de p	a	b	$b-a$	$\left(b-a\right)>{10}^{-1}$
      Initialisation			$-4$	$-2$	2	VRAI
      Après le 1er passage dans la boucle	$-3$	Négatif	$-4$	$-3$	1	VRAI
      Après le 2ième passage dans la boucle	$-{\displaystyle \frac{7}{2}}$	Positif	$-{\displaystyle \frac{7}{2}}$	$-3$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	VRAI

   3. À la fin de l'exécution de l'algorithme, les variables a et b contiennent les valeurs $-\mathrm{3,1875}$ et $-\mathrm{3,125}$. Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice.

      L'algorithme permet de déterminer un encadrement d'amplitude inférieure ou égale à 0,1 de la solution α de l'équation $f\left(x\right)=0$. D'où $-\mathrm{3,1875}⩽\alpha ⩽-\mathrm{3,125}$.

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4. On admet qu'une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[-4;10\right]$ est la fonction F définie par $F\left(x\right)=x+\left(8x^2+52x+88\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.
   Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[-4;10\right]$. Arrondir au centième.

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[-4;10\right]$ est : $$\begin{array}{rcl}m={\displaystyle \frac{1}{10-\left(-4\right)}}\times {\displaystyle {\int }_{-4}^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{14}}\times \left(F\left(10\right)-F\left(-4\right)\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(10+\left(800+520+88\right){\mathrm{e}}^{-5}\right)-\left(-4+\left(128-208+88\right){\mathrm{e}}^2\right)}{4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(10+1408{\mathrm{e}}^{-5}\right)-\left(-4+8{\mathrm{e}}^2\right)}{14}}\\ & =& {\displaystyle \frac{14+1408{\mathrm{e}}^{-5}-8{\mathrm{e}}^2}{14}}\end{array}$$

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[-4;10\right]$ est $m={\displaystyle \frac{7+704{\mathrm{e}}^{-5}-4{\mathrm{e}}^2}{7}}$. Soit arrondi au centième près, $m\approx -\mathrm{2,54}$.

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