sujet : Liban 2019

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

partie 1 : Modèle 1

Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le n-ième jour après le 1^er juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q=\mathrm{1,63}$. Ainsi $u_0=97$.

1. Calculer $u_2$. Arrondir à l'unité.

   $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{1,63}$ et de premier terme $u_0=97$. Donc : $$u_2=97\times {\mathrm{1,63}}^2=\mathrm{257,7193}$$

   $u_2\approx 258$.

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2. Exprimer $u_n$ en fonction de n, pour tout entier naturel n.

   $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{1,63}$ et de premier terme $u_0=97$. Donc pour tout entier naturel n, $u_n=97\times {\mathrm{1,63}}^n$.

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3. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

   • méthode 1

     $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q>1$ et de premier terme $u_0>0$. Donc la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.

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   • méthode 2

     Pour tout entier naturel n : $$\begin{array}{rcl}{u}_{n+1}-u_n& =& 97\times {\mathrm{1,63}}^{n+1}-97\times {\mathrm{1,63}}^n\\ & =& 97\times {\mathrm{1,63}}^n\times \left(\mathrm{1,63}-1\right)\\ & =& \mathrm{61,11}\times {\mathrm{1,63}}^n\end{array}$$

     Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}-u_n>0$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.

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4. Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018 ? Arrondir à la centaine.

   $$u_{12}=97\times {\mathrm{1,63}}^{12}\approx 34121$$

   Selon ce modèle, le 13 juin 2018, le nombre de chenilles serait d'environ 3 412 100.

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partie 2 : Modèle 2

Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le n-ième jour après le 1^er juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite $\left(v_n\right)$ telle que :$v_0=97$ et, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,91}{v}_n+93$.

1. On admet que, pour tout entier naturel n : $v_n={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(-2809\times {\mathrm{0,91}}^n+3100\right)$. Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018 ? Arrondir à la centaine.

   $$v_{12}={\displaystyle \frac{-2809\times {\mathrm{0,91}}^{12}+3100}{3}}\approx 731$$

   Selon ce modèle, le 13 juin 2018, le nombre de chenilles serait d'environ 73 100.

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2. En étudiant le signe de $v_{n+1}-v_n$, montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante.

   Pour tout entier naturel n : $$\begin{array}{rcl}{v}_{n+1}-v_n& =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\left(-2809\times {\mathrm{0,91}}^{n+1}+3100\right)-{\displaystyle \frac{1}{3}}\left(-2809\times {\mathrm{0,91}}^n+3100\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\left(-2809\times {\mathrm{0,91}}^{n+1}+2809\times {\mathrm{0,91}}^n\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{2809\times {\mathrm{0,91}}^n\times \left(-\mathrm{0,91}+1\right)}{3}}\\ & =& \mathrm{84,27}\times {\mathrm{0,91}}^n\end{array}$$

   Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}-v_n>0$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est strictement croissante.

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partie 3 : Comparaison des différents modèles

La valeur relevée dans le camping le 13 juin 2018 est de 745 centaines de chenilles.

1. À partir de ce relevé, quel modèle paraît le plus adapté ?

   $u_{12}\approx 34121$ et $v_{12}\approx 731$. $v_{12}$ est plus proche de 745 que $u_{12}$.

   C'est le modèle 2 qui paraît le plus adapté.

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2. On reprend l'étude du deuxième modèle.

   1. Résoudre l'inéquation : $v_n⩾1000$.

      Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{rcll}{\displaystyle \frac{1}{3}}\left(-2809\times {\mathrm{0,91}}^n+3100\right)⩾1000& \iff & -2809\times {\mathrm{0,91}}^n+3100⩾3000& \\ & \iff & -2809\times {\mathrm{0,91}}^n⩾-100& \\ & \iff & {\mathrm{0,91}}^n⩽{\displaystyle \frac{100}{2809}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,91}}^n\right)⩽\ln \left({\displaystyle \frac{100}{2809}}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{0,91}⩽\ln \left({\displaystyle \frac{100}{2809}}\right)& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{100}{2809}}\right)}{\ln \mathrm{0,91}}}& \ln \mathrm{0,91}<0\end{array}$$

      Or ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{100}{2809}}\right)}{\ln \mathrm{0,91}}}\approx \mathrm{35,4}$ donc :

      l'ensemble des solutions de l'inéquation $v_n⩾1000$ sont les entiers naturels $n⩾36$.

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   2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

      Le plus petit entier tel que $v_n⩾1000$ est $n=36$. Par conséquent, selon le modèle 2 le nombre de chenilles dépassera 100 000 au bout de 36 jours.

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