sujet : Liban 2019

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.

partie 1

D'après un sondage sur la fréquence de rejet de produits polluants dans les canalisations, on estime que 72 % de la population est respectueuse de son environnement.
On interroge 300 personnes choisies au hasard pour savoir si elles jettent régulièrement des produits polluants dans les canalisations, ce qui permet de repérer des personnes respectueuses de leur environnement. On estime que la population est suffisamment grande pour que ce choix de 300 personnes soit assimilable à un tirage avec remise.
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes respectueuses de leur environnement dans un échantillon de 300 personnes choisies au hasard.

1. Quelle est la loi suivie par X ? Justifier.

   Ce choix de 300 personnes est assimilable à un tirage avec remise donc la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres $n=300$ et $p=\mathrm{0,72}$.

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2. Calculer la probabilité que 190 personnes soient respectueuses de leur environnement. Arrondir à ${10}^{-4}$.

   À l'aide de la calculatrice, $P\left(X=190\right)=\left(\begin{array}{c}300\\ 190\end{array}\right)\times {\mathrm{0,72}}^{190}\times {\left(1-\mathrm{0,72}\right)}^{110}\approx \mathrm{0,0002}$.

   Arrondie à ${10}^{-4}$ près, la probabilité que 190 personnes soient respectueuses de leur environnement est 0,0002.

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3. Calculer la probabilité qu'au moins 220 personnes soient respectueuses de leur environnement. Arrondir à ${10}^{-4}$.

   À l'aide de la calculatrice, .

   Arrondie à ${10}^{-4}$ près, la probabilité qu'au moins 220 personnes soient respectueuses de leur environnement est 0,3291.

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partie 2

1. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation: $2x^2-7x-4⩾0$.

   Le discriminant de la fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=2x^2-7x-4$ est : $\mathrm{\Delta }={\left(-7\right)}^2-4\times 2\times \left(-4\right)=81=9^2$. $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{7-9}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{7+9}{4}}=4\end{array}$$

   D'où le tableau de signe de $f\left(x\right)$ :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		4		$+\infty$
   Signe de $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   L'ensemble solution de l'inéquation $2x^2-7x-4⩾0$ est $S=\left]-\infty ;-\mathrm{0,5}\right]\cup \left[4;+\infty \right[$.

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2. On choisit un nombre au hasard dans l'intervalle $\left[0;10\right]$.
   Calculer la probabilité que ce nombre soit solution de l'inéquation précédente.

   On modélise ce tirage par loi uniforme. Soit Y la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0;10\right]$.
   Si Y est solution de l'inéquation précédente alors, Y appartient à l'intervalle $\left[4;10\right]$ : $$P\left(4⩽Y⩽10\right)={\displaystyle \frac{10-4}{10-0}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$$

   La probabilité qu'un nombre choisi au hasard dans l'intervalle $\left[0;10\right]$ soit solution de l'inéquation précédente est égale à 0,6.

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partie 3

1. Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 2,3 et d'écart-type 0,11.

   1. Calculer $P\left(\mathrm{2,18}⩽Z⩽\mathrm{2,42}\right)$. Arrondir à ${10}^{-2}$.

      D'après la calculatrice, $P\left(\mathrm{2,18}⩽Z⩽\mathrm{2,42}\right)\approx \mathrm{0,72}$

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   2. Calculer $P\left(Z⩾\mathrm{2,25}\right)$. Arrondir à ${10}^{-2}$.

      Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $$\begin{array}{rcl}P\left(Z⩾\mathrm{2,25}\right)& =& P\left(\mathrm{2,25}⩽Z<\mathrm{2,3}\right)+P\left(Z⩾\mathrm{2,3}\right)\\ & =& P\left(\mathrm{2,25}⩽Z<\mathrm{2,3}\right)+\mathrm{0,5}\approx \mathrm{0,68}\end{array}$$

      $P\left(Z⩾\mathrm{2,25}\right)\approx \mathrm{0,68}$

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2. On suppose maintenant que Z suit une loi normale d'espérance 2,3 et d'écart-type σ.
   Donner une valeur approchée de σ pour que $P\left(\mathrm{2,18}⩽Z⩽\mathrm{2,42}\right)\approx \mathrm{0,95}$. Justifier.

   • calcul 1

     La variable aléatoire Z suit la loi normale d'espérance $\mu =\mathrm{2,3}$ et d'écart-type σ donc $P\left(\mathrm{2,3}-\mathrm{1,96}\sigma ⩽Z⩽\mathrm{2,3}+\mathrm{1,96}\sigma \right)\approx \mathrm{0,95}$. Comme $P\left(\mathrm{2,18}⩽Z⩽\mathrm{2,42}\right)\approx \mathrm{0,95}$, on en déduit que $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{c}\mathrm{2,3}-\mathrm{1,96}\sigma \approx \mathrm{2,18}\\ \mathrm{2,3}+\mathrm{1,96}\sigma \approx \mathrm{2,42}\end{array}& \Rightarrow & \mathrm{1,96}\sigma \approx \mathrm{0,12}& \text{soit}& \sigma \approx \mathrm{0,061}\end{array}$$

   • calcul 2

     La variable aléatoire Z suit la loi normale d'espérance $\mu =\mathrm{2,3}$ et d'écart-type σ donc $P\left(\mathrm{2,3}-2\sigma ⩽Z⩽\mathrm{2,3}+2\sigma \right)\approx \mathrm{0,95}$. Comme $P\left(\mathrm{2,18}⩽Z⩽\mathrm{2,42}\right)\approx \mathrm{0,95}$, on en déduit que $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{c}\mathrm{2,3}-2\sigma \approx \mathrm{2,18}\\ \mathrm{2,3}+2\sigma \approx \mathrm{2,42}\end{array}& \Rightarrow & 2\sigma \approx \mathrm{0,12}& \text{soit}& \sigma \approx \mathrm{0,06}\end{array}$$

   Une valeur, approchée au centième près, de σ est $\sigma \approx \mathrm{0,06}$.

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