sujet : Liban 2019

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Partie 1

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.

   Notons :

   • $A_n$ l'événement : « un client choisi le plat A le n-ième jour » ;
   • $B_n$ l'événement : « un client choisi le plat B le n-ième jour » ;
   • $C_n$ l'événement : « un client choisi le plat C le n-ième jour ».

   D'un jour à l'autre, on constate que :

   • Parmi les clients ayant choisi le plat A : 30 % reprennent le plat A le lendemain, 50 % prennent le plat B le lendemain. D'où $p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,3}$, $p_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,5}$ et $p_{A_n}\left(C_{n+1}\right)=1-\left(\mathrm{0,3}+\mathrm{0,5}\right)=\mathrm{0,2}$.
   • Parmi les clients ayant choisi le plat B : 30 % reprennent le plat B le lendemain, 60 % prennent le plat A le lendemain. D'où $p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,3}$, $p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_{B_n}\left(C_{n+1}\right)=1-\left(\mathrm{0,3}+\mathrm{0,6}\right)=\mathrm{0,9}$.
   • Parmi les clients ayant choisi le plat C : 35 % reprennent le plat A le lendemain, 45 % prennent le plat B le lendemain. D'où $p_{C_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,35}$, $p_{C_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,45}$ et $p_{C_n}\left(C_{n+1}\right)=1-\left(\mathrm{0,35}+\mathrm{0,45}\right)=\mathrm{0,2}$.

   On en déduit le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

2. Donner la matrice de transition M de ce graphe, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

   La matrice de transition du graphe probabiliste en considérant ses sommets dans l'ordre alphabétique est : $M=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,5}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,3}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,35}& \mathrm{0,45}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)$.

   ---

3. Le restaurateur a noté que le premier jour 35,5 % des clients ont pris le plat A, 40,5 % ont pris le plat B et 24 % ont pris le plat C. Calculer $P_2$.

   L'état probabiliste initial est $P_1=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,355}& \mathrm{0,405}& \mathrm{0,24}\end{array}\right)$. $$\begin{array}{ccc}{P}_2=P_1\times M& \iff & P_2=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,355}& \mathrm{0,405}& \mathrm{0,24}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,5}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,3}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,35}& \mathrm{0,45}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,4335}& \mathrm{0,407}& \mathrm{0,1595}\end{array}\right)\end{array}$$

   L'état probabiliste du deuxième jour est $P_2=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,4335}& \mathrm{0,407}& \mathrm{0,1595}\end{array}\right)$.

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4. Le restaurateur affirme que le douzième jour, la proportion de clients qui choisiront le plat C sera à peu près la même que le treizième jour, soit environ 15,9 %. A-t-il raison ? Justifier.

   Nous avons : $$\begin{array}{rlcl}& P_{12}=P_1\times M^{11}& \iff & P_{12}=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,355}& \mathrm{0,405}& \mathrm{0,24}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,5}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,3}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,35}& \mathrm{0,45}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)}^{11}\approx \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,431}& \mathrm{0,41}& \mathrm{0,159}\end{array}\right)\\ \text{et}{P}_{13}=P_{12}\times M& \text{soit}& P_{13}\approx \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,431}& \mathrm{0,41}& \mathrm{0,159}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,5}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,6}& \mathrm{0,3}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,35}& \mathrm{0,45}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,431}& \mathrm{0,41}& \mathrm{0,159}\end{array}\right)\end{array}$$

   Le restaurateur a raison, le douzième jour et le treizième jour, la proportion de clients qui choisiront le plat C sera d'environ 15,9 %.

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Partie 2

1. Répondre aux questions suivantes en justifiant.

   1. Existe-t-il un parcours qui emprunte toutes les rues une et une seule fois ?

      • La chaîne fermée H₁ - H₂ - H₆ - H₇ - H₈ - H₃ - H₅ - H₄ - H₂ contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute paire de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant donc le graphe est connexe.

      • Les degrés des sommets sont :

        Sommets	H1	H2	H3	H4	H5	H6	H7	H8
        Degrés	3	4	6	2	2	3	4	2

      Le graphe est connexe et il n'y a que deux sommets H₁ et H₆ de degré impair, il existe donc des chaînes eulériennes d'extrémités H₁ et H₆.

      Le graphe admet des chaînes eulériennes donc il existe un parcours qui emprunte toutes les rues une et une seule fois.

      ---

   2. Un tel parcours peut-il partir de H₁ et y revenir ?

      Il y a deux sommets de degré impair donc il n'exite pas de cycle eulérien. Par conséquent, il n'est pas possible d'avoir un parcours qui emprunte toutes les rues une et une seule fois partant de H₁ et y revenant.

      ---

      remarque

      Un exemple de parcours qui emprunte toutes les rues une et une seule fois à partir de H₁ est : H₁ - H₂ - H₃ - H₁ - H₄ - H₅ - H₃ - H₆ - H₂ - H₇ - H₃ - H₈ - H₇ - H₆.

2. En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le temps minimal pour aller de H₄ vers H₈. Préciser le trajet correspondant.

   Pour déterminer le trajet de temps minimal pour aller de H₄ vers H₈, on utilise l'algorithme de Dijkstra.

   H1	H2	H3	H4	H5	H6	H7	H8	Sommet sélectionné
   ∞	∞	∞	0	∞	∞	∞	∞	H4 (0)
   8 (H4)	∞	∞		15 (H4)	∞	∞	∞	H1 (8)
   	17 (H1)	24 (H1)		15 (H4)	∞	∞	∞	H5 (15)
   	17 (H1)	24 (H1) 22 (H5)			∞	∞	∞	H2 (17)
   		22 (H5)			34 (H2)	28 (H2)	∞	H3 (22)
   					34 (H2) 27 (H3)	28 (H2) 26 (H3)	50 (H3)	H7 (26)
   					27 (H3)		50 (H3) 35 (H7)	H6 (27)
   							35 (H7)	H8 (35)

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   Le sommet H₈ étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de H₈ et on remonte la chaîne en suivant les prédécesseurs : H₈ ← H₇ ← H₃ ← H₅ ← H₄.

   Le temps minimal pour aller de H₄ vers H₈ est de 35 minutes en efectuant le trajet H₄ - H₅ - H₃ - H₇ - H₈.

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