sujet : Polynésie 2019

corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée.Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer la réponse choisie.

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1. On considère la fonction f définie et dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ d'expression $f\left(x\right)=-\mathrm{1,5}{x}^2+x^2\ln \left(x\right)$.
   La fonction dérivée de f est donnée pour tout x de $\left]0;+\infty \right[$ par :

   Pour tout réel x strictement positif :$$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& -3x+\left(2x\times \ln \left(x\right)+x^2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\\ & =& -3x+2x\ln \left(x\right)+x\\ & =& -2x+2x\ln \left(x\right)\end{array}$$

   a. $f\prime \left(x\right)=-x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$

   b. $f\prime \left(x\right)=2x\ln \left(x\right)-2x$

   c. $f\prime \left(x\right)=-3x+2$

   d. $f\prime \left(x\right)=-x\ln \left(x\right)-\mathrm{0,5}x$

2. Entre 2006 et 2018, dans un restaurant universitaire, le prix d'un repas est passé de 2 euros à 3,50 euros en augmentant chaque année de x %. Parmi ces valeurs, la valeur la plus proche de x est :

   x est solution de l'équation :$$\begin{array}{rcl}2\times {\left(1+{\displaystyle \frac{x}{100}}\right)}^{12}=\mathrm{3,5}& \iff & {\left(1+{\displaystyle \frac{x}{100}}\right)}^{12}=\mathrm{1,75}\\ & \iff & 1+{\displaystyle \frac{x}{100}}={\mathrm{1,75}}^{\frac{1}{12}}\\ & \iff & x=\left({\mathrm{1,75}}^{\frac{1}{12}}-1\right)\times 100\approx \mathrm{4,77}\end{array}$$

   a. 6,25

   b. 4,77

   c. 14,58

   d. 0,85

3. Un adolescent joue à un jeu dont les parties successives sont indépendantes.
   À chaque partie, il a une chance sur 25 de sortir vainqueur. Après 13 parties, à ${10}^{-3}$ près, la probabilité qu'il ait gagné au moins une fois est :

   Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de parties gagnées. X suit la loi binomiale de paramètres $n=13$ et $p={\displaystyle \frac{1}{25}}=\mathrm{0,04}$.

   $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩾1\right)=1-P\left(X=0\right)& \text{soit}& P\left(X⩾1\right)=1-{\left(1-\mathrm{0,04}\right)}^{13}=1-{\mathrm{0,96}}^{13}\approx \mathrm{0,412}\end{array}$$

   a. 0,588

   b. 0,412

   c. 0,025

   d. 0,975

4. On considère une fonction g définie sur $ℝ$, dont la courbe représentative ${𝒞}_g$ est donnée ci-contre.
   La fonction g admet une primitive sur $ℝ$ notée G.
   La fonction G est :

   • La convexité de la fonction G se déduit des variations de sa dérivée g :

     • g est croissante sur $\left]-\infty ;2\right]$ donc G est convexe sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right]$ ;
     • g est décroissante sur $\left[2;+\infty \right[$ donc G est concave sur l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$.

   • Les variations de la fonction G se déduisent du signe de sa dérivée g :
     g est positive sur $\left[-1;5\right]$ donc G est croissante sur l'intervalle $\left[2;5\right]$.

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   a. convexe sur l'intervalle $\left[-1;5\right]$.

   b. concave sur l'intervalle $\left[-1;5\right]$.

   c. croissante sur l'intervalle $\left[2;5\right]$.

   d. décroissante sur l'intervalle $\left[2;5\right]$.

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