Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Polynésie 2019

corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Sur un site de vente en ligne, Antoine a commandé une machine à café à capsules.

Chaque capsule achetée à l'unité coûte 0,60 €. Une offre permet d'acquérir 150 capsules au prix de 60 €.
De quel pourcentage de réduction bénéficie-t-on grâce à l'offre par rapport à un achat à l'unité ?
Le prix à l'unité en euro de l'offre est $\frac{60}{150} = 0,4$ et $\frac{0,4}{0,6} = \frac{2}{3}$ . Le prix d'une capsule dans l'offre est égal aux deux tiers du prix de l'achat d'une capsule.
Par rapport à un achat à l'unité on bénéficie d'une réduction d'un tiers du prix. Soit une réduction d'environ 33,3 %.
Au 1^er janvier 2017, on comptait 60 000 utilisateurs de cette machine à café. On estime que chaque mois, 10 % des propriétaires cessent de l'utiliser mais on compte 24 000 nouveaux utilisateurs.
1. Expliquer pourquoi le nombre d'utilisateurs de cette machine à café n mois après le 1^er janvier 2017, peut être modélisé par la suite $(u_{n})$ définie par : $\begin{matrix} u_{0} = 60000 & et & u_{n + 1} = 0,9 u_{n} + 24000 \end{matrix}$
  Pour tout entier naturel n, on note $u_{n}$ le nombre d'utilisateurs de cette machine à café n mois après le 1^er janvier 2017. Ainsi $u_{0} = 60000$ .
  Le mois suivant, le nombre d'utilisateurs de cette machine à café s'obtient à l'aide du montage suivant : $u_{n} \overset{\times 0,9 ( 10 % des propriétaires cessent de l'utiliser )}{\to} 0,9 u_{n} \overset{+ 24000 ( 24 000 nouveaux utilisateurs )}{\to} \underset{u_{n + 1}}{\underset{⏟}{0,9 u_{n} + 24000}}$
  Ainsi, le nombre d'utilisateurs de cette machine à café n mois après le 1^er janvier 2017, peut être modélisé par la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 60000$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,9 u_{n} + 24000$
2. On considère la suite $(v_{n})$ définie, pour tout entier naturel n, par : $v_{n} = u_{n} - 240000$ .
  Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 240000 \\ = & 0,9 u_{n} + 24000 - 240000 \\ = & 0,9 u_{n} - 216000 \\ = & 0,9 \times (u_{n} - 240000) \\ = & 0,9 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,9 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,9 et dont le premier terme $v_{0} = 60000 - 240000 = - 180000$ .
1. n étant un entier naturel, exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $v_{0} = - 180000$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_{n} = - 180000 \times {0,9}^{n}$
2. En déduire que pour tout entier naturel n, $u_{n} = 240000 - 180000 \times {0,9}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 240000 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 240000$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 240000 - 180000 \times {0,9}^{n}$ .
Au bout de combien de mois le nombre d'utilisateurs de cette machine à café dépassera-t-il pour la première fois 230 000 ?
Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 240000 - 180000 \times {0,9}^{n} > 230000 & \Leftrightarrow & - 180000 \times {0,9}^{n} > - 10000 \\ \Leftrightarrow & {0,9}^{n} < \frac{1}{18} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,9}^{n}) < - \ln (18) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln (0,9) < - \ln (18) & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > - \frac{\ln (18)}{\ln (0,9)} & \ln (0,9) < 0 \end{array}$
Or $- \frac{\ln (18)}{\ln (0,9)} \approx 27,4$ donc le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} > 23000$ est $n = 28$ .
Le nombre d'utilisateurs de cette machine à café dépassera pour la première fois 230 000 au bout de 28 mois.
L'entreprise qui fabrique cette machine à café prétend qu'elle touchera un certain mois plus de 250 000 utilisateurs. Que penser de cette affirmation ?
Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 240000 - 180000 \times {0,9}^{n} > 250000 & \Leftrightarrow & - 180000 \times {0,9}^{n} > 10000 \\ \Leftrightarrow & {0,9}^{n} < - \frac{1}{18} \end{array}$
Or pour tout entier naturel n, ${0,9}^{n} > 0$ donc l'inéquation $u_{n} > 25000$ n'a pas de solution.
Selon ce modèle, il n'est pas possible d'avoir plus de 250 000 utilisateurs.

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