Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Polynésie 2019

corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Deux grossistes A et B se partagent la clientèle d'un liquide industriel.
On suppose que le nombre total de clients reste fixe d'une année sur l'autre.
En 2017, 45 % des clients se fournissaient chez le grossiste A et 55 % chez le grossiste B.
D'une année sur l'autre, 6 % des clients du grossiste A deviennent clients du grossiste B tandis que le grossiste B conserve 86 % de ses clients.
Chaque année, on choisit au hasard un client ayant acheté le liquide.

Pour tout entier naturel n on note :

$a_{n}$ la probabilité qu'il soit client du grossiste A en $2017 + n$ ,
$b_{n}$ la probabilité qu'il soit client du grossiste B en $2017 + n$ .

Pour tout entier naturel n, on note $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ la matrice ligne représentant l'état probabiliste de l'année $2017 + n$ . On rappelle que $a_{n} + b_{n} = 1$ .
On a donc $P_{0} = (\begin{matrix} 0,45 & 0,55 \end{matrix})$ .

Représenter cette situation par un graphe probabiliste dans lequel les sommets A et B correspondent aux noms des grossistes.
D'une année sur l'autre :
- 6 % des clients du grossiste A deviennent clients du grossiste B d'où $p_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 0,06$ et $p_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 1 - 0,06 = 0,94$ .
- le grossiste B conserve 86 % de ses clients d'où $p_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 0,86$ et $p_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 1 - 0,86 = 0,14$ .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
1. Donner la matrice de transition T associée à ce graphe (les sommets seront rangés par ordre alphabétique).
  La matrice de transition du graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times T$ est : $T = (\begin{matrix} 0,94 & 0,06 \\ 0,14 & 0,86 \end{matrix})$ .
2. Quelle sera, exprimée en pourcentage, la répartition prévisible des ventes entre ces deux grossistes en 2020 ? Justifier la réponse. On arrondira les résultats à 0,1 % près.
  La matrice de l'état probabiliste en 2020 est $P_{3} = P_{0} \times T^{3}$ soit : $\begin{matrix} P_{3} & = & (\begin{matrix} 0,45 & 0,55 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,94 & 0,06 \\ 0,14 & 0,86 \end{matrix})}^{3} & = & (\begin{matrix} 0,572 & 0,428 \end{matrix}) \end{matrix}$
  En 2020, 57,2 % des clients se fourniront chez le grossiste A et 42,8 % chez le grossiste B.
On admet que pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,8 a_{n} + 0,14$ .
1. On pose pour tout naturel n : $u_{n} = a_{n} - 0,7$ . Démontrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 0,7 \\ = & 0,8 a_{n} + 0,14 - 0,7 \\ = & 0,8 a_{n} - 0,56 \\ = & 0,8 \times (a_{n} - 0,7) \\ = & 0,8 u_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,8 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et dont le premier terme $u_{0} = 0,45 - 0,7 = - 0,25$ .
2. En déduire que pour tout entier naturel n, $a_{n} = - 0,25 \times {0,8}^{n} + 0,7$ .
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $v_{0} = - 0,25$ donc pour tout entier naturel n, on a : $u_{n} = - 0,25 \times {0,8}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $u_{n} = a_{n} - 0,7 \Leftrightarrow a_{n} = u_{n} + 0,7$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $a_{n} = - 0,25 \times {0,8}^{n} + 0,7$ .
3. Quelle part du marché, exprimée en pourcentage, le grossiste A peut-il espérer à long terme ? Justifier la réponse.
  $0 < 0,8 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,8}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} - 0,25 \times {0,8}^{n} = 0$ et $\lim_{n \to + \infty} - 0,25 \times {0,8}^{n} + 0,7 = 0,7$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0,7$ .
  Le grossiste A peut espérer détenir environ 70 % de part du marché à long terme.
4. À partir de quelle année le grossiste A détiendra t-il plus de 65 % du marché ?
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} - 0,25 \times {0,8}^{n} + 0,7 > 0,65 & \Leftrightarrow & - 0,25 \times {0,8}^{n} > - 0,005 \\ \Leftrightarrow & {0,8}^{n} < 0,2 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,8}^{n}) < \ln 0,2 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,8 < \ln 0,2 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,2}{\ln 0,8} & \ln 0,8 < 0 \end{array}$
  Comme $- \frac{\ln 0,2}{\ln 0,8} \approx 7,8$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $a_{n} > 0,65$ est $n = 8$ .
  C'est en 2025 que le grossiste A détiendra plus de 65 % du marché.

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