Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Polynésie 2019

corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Les parties sont indépendantes

Une entreprise vend des téléviseurs.
Pour tout évènement E, on note E¯ l'évènement contraire de E et p(E) sa probabilité.
Pour tout évènement F de probabilité non nulle, on note pF(E) la probabilité de E sachant que F est réalisé.

partie a

Une étude a montré que ces téléviseurs peuvent rencontrer deux types de défauts : un défaut sur la dalle, un défaut sur le condensateur.
L'étude indique que :

  • 3 % des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle et parmi ceux-ci 2 % ont aussi un défaut sur le condensateur.
  • 5 % des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.

On choisit au hasard un téléviseur et on considère les évènements suivants :

  • D : « le téléviseur a un défaut sur la dalle » ;
  • C : « le téléviseur a un défaut sur le condensateur ».
  1. Les résultats seront approchés si nécessaire à 10-4 près.

    1. Exprimer les trois données numériques de l'énoncé sous forme de probabilités.

      p(D)=0,03, pD(C)=0,02 et p(C)=0,05.


    2. Recopier l'arbre ci-dessous et compléter uniquement les pointillés par les probabilités associées :

      Arbre : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    3. Calculer la probabilité p(DC) de l'évènement DC.

      p(DC)=pD(C)×p(D)soitp(DC)=0,02×0,03=0,0006

      p(DC)=0,0006.


    4. Le téléviseur choisi a un défaut sur le condensateur. Quelle est alors la probabilité qu'il ait un défaut sur la dalle ?

      pC(D)=p(DC)p(C)soitpC(D)=0,00060,05=0,012

      La probabilité que le téléviseur choisi a un défaut sur la dalle sachant qu'il a un défaut sur le condensateur est égale à 0,012.


    5. La probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur mais pas de défaut sur la dalle vaut 0,0494. Justifier cette affirmation.

      Arbre : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Nous avons :pC(D¯)=1-pC(D)soitpC(D¯)=1-0,012=0,988etp(D¯C)=pC(D¯)×p(C)soitp(D¯C)=0,988×0,05=0,0494

      Ainsi, la probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur mais pas de défaut sur la dalle vaut 0,0494.


  2. Les résultats seront approchés à 10-2 près.
    On note T la variable aléatoire qui, à chaque téléviseur prélevé, associe le temps exprimé en mois avant la première panne. On admet que T suit la loi normale d'espérance μ=84 et d'écart-type σ=6.

    1. Donner la probabilité qu'un téléviseur tombe en panne pour la première fois après 72 mois d'utilisation.

      • calcul 1

        La variable aléatoire T suit la loi normale d'espérance μ=84 et d'écart-type σ=6 donc p(T>72)=p(72T84)+p(T84)=0,5-p(84-12T84+12)2=0,5+0,95420,977

      • À l'aide de la calculatrice

        p(T>72)=p(T84)+p(84T72)=0,5+p(84T72)0,977

      Arrondie au centième près, la probabilité qu'un téléviseur tombe en panne pour la première fois après 72 mois d'utilisation est d'environ 0,98.


    2. Quelle est la probabilité que la première panne arrive entre 6 années et 8 années d'utilisation.

      p(72T96)0,954 donc arrondie au centième près, la probabilité que la première panne arrive entre 6 années et 8 années d'utilisation est d'environ 0,95.


    3. Le téléviseur n'a pas eu de panne après 6 années d'utilisation. Quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant 8 années d'utilisation ?

      p(T>72)(T<96)=p(72<T<96)p(T>72)soitp(T>72)(T<96)=0,9540,9770,976

      Arrondie au centième près, la probabilité qu'un téléviseur tombe en panne avant 8 années sachant qu'il n'a pas eu de panne après 6 années d'utilisation est d'environ 0,98.


partie b

Afin de satisfaire davantage de clients, l'entreprise décide d'apporter des améliorations à son service d'assistance. Après quelques mois de mise en place du nouveau service, elle affirme que 90 % des clients sont maintenant satisfaits. Un service de contrôle indépendant veut vérifier cette affirmation. Pour cela il interroge au hasard 300 clients. Parmi eux, 265 affirment être satisfaits.

Les résultats de cette étude remettent-ils en cause l'affirmation de l'entreprise ? Justifier la réponse.

La fréquence f appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Cette étude ne remet pas en cause l'affirmation de l'entreprise.



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