sujet : Polynésie 2019

corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Les parties sont indépendantes

Une entreprise vend des téléviseurs.
Pour tout évènement E, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de E et $p\left(E\right)$ sa probabilité.
Pour tout évènement F de probabilité non nulle, on note $p_F\left(E\right)$ la probabilité de E sachant que F est réalisé.

partie a

1. Les résultats seront approchés si nécessaire à ${10}^{-4}$ près.

   1. Exprimer les trois données numériques de l'énoncé sous forme de probabilités.

      $p\left(D\right)=\mathrm{0,03}$, $p_D\left(C\right)=\mathrm{0,02}$ et $p\left(C\right)=\mathrm{0,05}$.

      ---

   2. Recopier l'arbre ci-dessous et compléter uniquement les pointillés par les probabilités associées :

   3. Calculer la probabilité $p\left(D\cap C\right)$ de l'évènement $D\cap C$.

      $$\begin{array}{ccc}p\left(D\cap C\right)=p_D\left(C\right)\times p\left(D\right)& \text{soit}& p\left(D\cap C\right)=\mathrm{0,02}\times \mathrm{0,03}=\mathrm{0,0006}\end{array}$$

      $p\left(D\cap C\right)=\mathrm{0,0006}$.

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   4. Le téléviseur choisi a un défaut sur le condensateur. Quelle est alors la probabilité qu'il ait un défaut sur la dalle ?

      $$\begin{array}{ccc}{p}_C\left(D\right)={\displaystyle \frac{p\left(D\cap C\right)}{p\left(C\right)}}& \text{soit}& p_C\left(D\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0006}}{\mathrm{0,05}}}=\mathrm{0,012}\end{array}$$

      La probabilité que le téléviseur choisi a un défaut sur la dalle sachant qu'il a un défaut sur le condensateur est égale à 0,012.

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   5. La probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur mais pas de défaut sur la dalle vaut 0,0494. Justifier cette affirmation.

      Nous avons :$$\begin{array}{rccl}& p_C\left(\overline{D}\right)=1-p_C\left(D\right)& \text{soit}& p_C\left(\overline{D}\right)=1-\mathrm{0,012}=\mathrm{0,988}\\ \text{et}& p\left(\overline{D}\cap C\right)=p_C\left(\overline{D}\right)\times p\left(C\right)& \text{soit}& p\left(\overline{D}\cap C\right)=\mathrm{0,988}\times \mathrm{0,05}=\mathrm{0,0494}\end{array}$$

      Ainsi, la probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur mais pas de défaut sur la dalle vaut 0,0494.

      ---

2. Les résultats seront approchés à ${10}^{-2}$ près.
   On note T la variable aléatoire qui, à chaque téléviseur prélevé, associe le temps exprimé en mois avant la première panne. On admet que T suit la loi normale d'espérance $\mu =84$ et d'écart-type $\sigma =6$.

   1. Donner la probabilité qu'un téléviseur tombe en panne pour la première fois après 72 mois d'utilisation.

      • calcul 1

        La variable aléatoire T suit la loi normale d'espérance $\mu =84$ et d'écart-type $\sigma =6$ donc $$\begin{array}{rcl}p\left(T>72\right)& =& p\left(72⩽T⩽84\right)+p\left(T⩾84\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-{\displaystyle \frac{p\left(84-12⩽T⩽84+12\right)}{2}}\\ & =& \mathrm{0,5}+{\displaystyle \frac{\mathrm{0,954}}{2}}\approx \mathrm{0,977}\end{array}$$

      • À l'aide de la calculatrice

        $$\begin{array}{rcl}p\left(T>72\right)& =& p\left(T⩾84\right)+p\left(84⩽T⩽72\right)\\ & =& \mathrm{0,5}+p\left(84⩽T⩽72\right)\\ & \approx & \mathrm{0,977}\end{array}$$

      Arrondie au centième près, la probabilité qu'un téléviseur tombe en panne pour la première fois après 72 mois d'utilisation est d'environ 0,98.

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   2. Quelle est la probabilité que la première panne arrive entre 6 années et 8 années d'utilisation.

      $p\left(72⩽T⩽96\right)\approx \mathrm{0,954}$ donc arrondie au centième près, la probabilité que la première panne arrive entre 6 années et 8 années d'utilisation est d'environ 0,95.

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   3. Le téléviseur n'a pas eu de panne après 6 années d'utilisation. Quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant 8 années d'utilisation ?

      $$\begin{array}{ccc}{p}_{\left(T>72\right)}\left(T<96\right)={\displaystyle \frac{p\left(72<T<96\right)}{p\left(T>72\right)}}& \text{soit}& p_{\left(T>72\right)}\left(T<96\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,954}}{\mathrm{0,977}}}\approx \mathrm{0,976}\end{array}$$

      Arrondie au centième près, la probabilité qu'un téléviseur tombe en panne avant 8 années sachant qu'il n'a pas eu de panne après 6 années d'utilisation est d'environ 0,98.

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partie b

Afin de satisfaire davantage de clients, l'entreprise décide d'apporter des améliorations à son service d'assistance. Après quelques mois de mise en place du nouveau service, elle affirme que 90 % des clients sont maintenant satisfaits. Un service de contrôle indépendant veut vérifier cette affirmation. Pour cela il interroge au hasard 300 clients. Parmi eux, 265 affirment être satisfaits.

Les résultats de cette étude remettent-ils en cause l'affirmation de l'entreprise ? Justifier la réponse.

• La fréquence de clients satisfaits dans des échantillons de taille $n=300$ est $f={\displaystyle \frac{265}{300}}={\displaystyle \frac{53}{60}}\approx \mathrm{0,883}$

• On a $n=300$, $n\times p=300\times \mathrm{0,9}=270$ et $n\times \left(1-p\right)=300\times \mathrm{0,1}=30$.
  Les conditions $n⩾30$, $np>5$ et $n\times \left(1-p\right)>5$ d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

  L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de clients satisfaits dans des échantillons de taille $n=300$ est : $$I=\left[\mathrm{0,9}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,1}}{300}}};\mathrm{0,9}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,1}}{300}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,866};\mathrm{0,934}\right]$$

La fréquence f appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Cette étude ne remet pas en cause l'affirmation de l'entreprise.

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