sujet : Polynésie 2019

corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

partie a

Une entreprise produit chaque année entre 100 et 900 pneus pour tracteurs.
On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[1;9\right]$ par $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}{x}^2-7x+14+6\ln \left(x\right)$.
On admet que la fonction f modélise le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu, exprimé en centaines d'euros, pour x centaines de pneus produits.

1. La fonction f est dérivable sur l'intervalle $\left[1;9\right]$ et on note $f\prime$ sa fonction dérivée. Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;9\right]$ on a : $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-7x+6}{x}}$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;9\right]$ on a : $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& x-7+{\displaystyle \frac{6}{x}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2-7x+6}{x}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[1;9\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-7x+6}{x}}$.

   ---

2. 1. Justifier les variations suivantes de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;9\right]$ :

      Sur l'intervalle $\left[1;9\right]$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $P\left(x\right)=x^2-7x+6$.

      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=49-14=25$. $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{7-5}{2}}=1& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{7+5}{2}}=6\end{array}$$

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de signe de $f\prime$ et des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;9\right]$ :

      x	1		6		9
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Variations de f	7,5		$6\ln \left(6\right)-10\approx \mathrm{0,75}$		$6\ln \left(9\right)-\mathrm{7,5}\approx \mathrm{4,68}$

   2. Justifier que, sur l'intervalle $\left[1;9\right]$, l'équation $f\left(x\right)=5$ admet une unique solution α.

      • Sur l'intervalle $\left[1;6\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f\left(6\right)<5<f\left(1\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. l'équation $f\left(x\right)=5$ admet une unique solution $\alpha \in \left[1;6\right]$.

      • Sur l'intervalle $\left[6;9\right]$, la fonction f est strictement croissante donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[6;9\right]$ on a $f\left(x\right)⩽6\ln \left(9\right)-\mathrm{7,5}$ soit $f\left(x\right)<5$. Par conséquent, l'équation $f\left(x\right)=5$ n'admet pas de solution sur $\left[6;9\right]$.

      Ainsi, l'équation $f\left(x\right)=5$ admet une unique solution $\alpha \in \left[1;6\right]$.

      ---

   3. Donner un encadrement au centième près de α.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $\mathrm{2,55}⩽\alpha ⩽\mathrm{2,56}$.

      ---

   4. On considère l'algorithme ci-dessous :

      $X\leftarrow 1$
      $Y\leftarrow \mathrm{7,5}$

      Tant que $Y>5$
      $X\leftarrow X+\mathrm{0,01}$
      $Y\leftarrow \mathrm{0,5}{X}^2-7X+14+6*\ln \left(X\right)$
      Fin Tant que

      À la fin de l'exécution de l'algorithme, quelle valeur numérique contient la variable X ?

      À chaque itération la variable X est incrémentée de 0,01. La condition $Y>5$ est fausse dès que $Y⩾5$.
      Par conséquent, à la fin de l'exécution de l'algorithme, la variable X contient la valeur approchée au centième près par excès de la solution de l'équation $f\left(x\right)=5$.

      À la fin de l'exécution de l'algorithme, $X=\mathrm{2,56}$.

      ---

3. Pour quelle quantité de pneus, le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu est-il minimal ?
   À combien s'élève-t-il ?

   D'apès le tableau des variations, le minimum de la fonction f est $f\left(6\right)=6\ln \left(6\right)-10\approx \mathrm{0,75}$.

   Le coût moyen annuel minimal de fabrication d'un pneu est d'environ 75 euros pour une production de 600 pneus.

   ---

partie b

Cette même entreprise envisage la fabrication de semoirs (gros matériel agricole).
On admet que la fonction g définie sur l'intervalle $\left[0;100\right]$ par $g\left(x\right)=2x-1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,05}x}$ modélise le coût de fabrication, exprimé en centaines d'euros, de x semoirs.

1. Donner une primitive G de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;100\right]$.

   D'après les formules usuelles de calcul de primitive, une primitive G de la fonction g est définie par :$$G\left(x\right)=x^2-x+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,05}}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,05}x}=x^2-x+20{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,05}x}$$

   Une primitive G de la fonction g est définie sur l'intervalle $\left[0;100\right]$ par $G\left(x\right)=x^2-x+20{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,05}x}$.

   ---

2. Calculer la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;100\right]$.

   La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;100\right]$ est : $$\begin{array}{rcl}m={\displaystyle \frac{1}{100}}\times {\displaystyle {\int }_0^{100}g\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{100}}\times \left(G\left(100\right)-G\left(0\right)\right)\\ m& =& \mathrm{0,01}\times \left[\left(10000-100+20{\mathrm{e}}^5\right)-\left(20{\mathrm{e}}^5\right)\right]\\ m& =& \mathrm{0,01}\times \left(20{\mathrm{e}}^5+9900-20\right)\\ m& =& \mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^5+\mathrm{98,8}\end{array}$$

   La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;100\right]$ est $m=\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^5+\mathrm{98,8}$.

   ---

3. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

   Arrondi au centième près, $m\approx \mathrm{128,48}$. Le coût moyen de fabrication d'un semoir est d'environ 12 848 euros.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.