contrôle du 20 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 2

1. Dans le repère ci-dessous, tracer la droite $d_1$ d'équation $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+\mathrm{2,5}$

   La droite $d_1$ d'équation $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+\mathrm{2,5}$ passe par les points de coordonnées $A\prime \left(0;\mathrm{2,5}\right)$ et $B\prime \left(3;\mathrm{0,5}\right)$

2. Déterminer une équation de la droite $d_2$ qui passe par les points $A\left(-4;\mathrm{0,5}\right)$ et $B\left(1;\mathrm{6,5}\right)$

   La droite $d_2$ a pour équation $y=ax+b$ avec $$\begin{array}{lll}a={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{\mathrm{6,5}-\mathrm{0,5}}{1+4}}={\displaystyle \frac{6}{5}}\end{array}$$

   Le point $B\left(1;\mathrm{6,5}\right)$ est un point de la droite $d_2$ donc une équation de la droite $d_2$ est : $$\begin{array}{lllll}y=a\left(x-x_B\right)+y_B& \text{Soit}& y={\displaystyle \frac{6}{5}}\times \left(x-1\right)+\mathrm{6,5}& \iff & y={\displaystyle \frac{6}{5}}x+\mathrm{5,3}\end{array}$$

   La droite $d_2$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{6}{5}}x+\mathrm{5,3}$.

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3. Calculer les coordonnées du point I intersection des droites $d_1$ et $d_2$.

   Les coordonnées du point d'intersection des droites $d_1$ et $d_2$ sont solutions du système : $$\begin{array}{lllll}\{\begin{array}{rcl}y& =& -{\displaystyle \frac{2}{3}}x+\mathrm{2,5}\\ y& =& {\displaystyle \frac{6}{5}}x+\mathrm{5,3}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}y& =& -{\displaystyle \frac{2}{3}}x+\mathrm{2,5}\\ -{\displaystyle \frac{2}{3}}x+\mathrm{2,5}& =& {\displaystyle \frac{6}{5}}x+\mathrm{5,3}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}y& =& -{\displaystyle \frac{2}{3}}x+\mathrm{2,5}\\ -{\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{6}{5}}x& =& \mathrm{5,3}-\mathrm{2,5}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}y& =& -{\displaystyle \frac{2}{3}}x+\mathrm{2,5}\\ -{\displaystyle \frac{28}{15}}x& =& \mathrm{2,8}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}y& =& -{\displaystyle \frac{2}{3}}\times x+\mathrm{2,5}\\ x& =& -\mathrm{1,5}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}y& =& -{\displaystyle \frac{2}{3}}\times \left(-\mathrm{1,5}\right)+\mathrm{2,5}\\ x& =& -\mathrm{1,5}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}y& =& \mathrm{3,5}\\ x& =& -\mathrm{1,5}\end{array}\end{array}$$

   Ainsi, le point I intersection des droites $d_1$ et $d_2$ a pour coordonnées $I\left(-\mathrm{1,5};\mathrm{3,5}\right)$.

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