contrôle du 20 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 4

Pierre a contracté des emprunts auprès de trois organismes de crédit différents. Le montant total des emprunts est de 9400€.
On note x le montant en euros de l'emprunt au taux de 11,6% par an, y celui au taux de 8,4% par an et z celui au taux de 4,5% par an. Le montant des intérêts versés est de 627€.

Calculer le montant en euros de chacun des emprunts sachant que $x={\displaystyle \frac{3}{5}}y$.

• Le montant total de la somme empruntée est de 9400€ alors $$x+y+z=9400$$

• Le montant des intérêts versés est de 627€ alors $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{\mathrm{11,6}}{100}}x+{\displaystyle \frac{\mathrm{8,4}}{100}}y+{\displaystyle \frac{\mathrm{4,5}}{100}}z=627& \iff & \mathrm{11,6}x+\mathrm{8,4}y+\mathrm{4,5}z=62700\end{array}$$

Sachant que $x={\displaystyle \frac{3}{5}}y$ alors, x, y et z sont solutions du système : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rcl}x& =& {\displaystyle \frac{3}{5}}y\\ x+y+z& =& 9400\\ \mathrm{11,6}x+\mathrm{8,4}y+\mathrm{4,5}z& =& 62700\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,6}y\\ \mathrm{0,6}y+y+z& =& 9400\\ \mathrm{11,6}\times \mathrm{0,6}y+\mathrm{8,4}y+\mathrm{4,5}z& =& 62700\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,6}y\\ \mathrm{1,6}y+z& =& 9400\\ \mathrm{15,36}y+\mathrm{4,5}z& =& 62700\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,6}y\\ z& =& 9400-\mathrm{1,6}y\\ \mathrm{15,36}y+\mathrm{4,5}\times \left(9400-\mathrm{1,6}y\right)& =& 62700\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,6}y\\ z& =& 9400-\mathrm{1,6}y\\ \mathrm{8,16}y+42300& =& 62700\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,6}y\\ z& =& 9400-\mathrm{1,6}y\\ y& =& 2500\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& 1500\\ z& =& 5400\\ y& =& 2500\end{array}\end{array}$$

Pierre a emprunté 1500€ au taux de 11,6%, 2500€ au taux de 8,4% et 5400€ au taux de 4,5%.

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