contrôle du 20 décembre 2007

Corrigé de l'exercice 1

La courbe ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur $ℝ$.
À partir du graphique, répondre aux questions suivantes.

1. Quelles sont les solutions de l'équation $f\left(x\right)=2$ ?

   Graphiquement, les solutions de l'équation $f\left(x\right)=2$ sont les abscisses des points d'intersection de la droite d'équation $y=2$ avec la courbe représentative de la fonction f.

   L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=2$ est $S=\left\{0;2\right\}$

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2. On considère la fonction g définie pour tout réel x par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$

   1. Calculer $g\left(0\right)$.

      $g\left(0\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(0\right)}}$. Soit $g\left(0\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

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   2. Établir le tableau des variations de la fonction g. Préciser l'extremum de la fonction g.

      Sur tout intervalle où la fonction f ne s'annule pas, les fonctions f et ${\displaystyle \frac{1}{f}}$ ont des variations contraires.

      La courbe fournie permet d'établir les variations de la fonction f

      x	$-\infty$		1		$+\infty$
      Variations de f			4

      D'où le tableau des variations de la fonction g

      x	$-\infty$		1		$+\infty$
      Variations de $g={\displaystyle \frac{1}{f}}$			0,25

      Le minimum de la fonction g est $$\begin{array}{ccc}g\left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(1\right)}}& \text{Soit}& g\left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$

courbes représentatives des fonctionsfetg

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