contrôle du 20 décembre 2007

Corrigé de l'exercice 3

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

1. $5x+2=3x^2$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}5x+2=3x^2& \iff & -3x^2+5x+2=0\end{array}$$

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $-3x^2+5x+2=0$
   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ avec $a=-3\text{, }b=5\text{ et }c=2$ d'où : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }=5^2-4\times \left(-3\right)\times 2=49& \text{soit}& \mathrm{\Delta }=7^2\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\\ \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-5-7}{2\times \left(-3\right)}}=2& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-5+7}{2\times \left(-3\right)}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{1}{3}};2\right\}$

   ---

2. $2x^2-2x-1=0$.

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $2x^2-2x-1=0$
   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ avec $a=2\text{, }b=-2\text{ et }c=-1$ d'où : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }={\left(-2\right)}^2-4\times 2\times \left(-1\right)=12& \text{donc}& \sqrt{\mathrm{\Delta }}=2\sqrt{3}\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\\ \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{2-2\sqrt{3}}{2\times 2}}={\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{2+2\sqrt{3}}{2\times 2}}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\left\{{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}};{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}\right\}$

   ---

3. $\left(2x-1\right)\left(x+1\right)=x\left(x-1\right)$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}\left(2x-1\right)\left(x+1\right)=x\left(x-1\right)& \iff & 2x^2+2x-x-1=x^2-x\\ & \iff & x^2+2x-1=0\end{array}$$

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $x^2+2x-1=0$
   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ avec $a=1\text{, }b=2\text{ et }c=-1$ d'où : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }=2^2-4\times 1\times \left(-1\right)=8& \text{donc}& \sqrt{\mathrm{\Delta }}=2\sqrt{2}\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\\ \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-2-2\sqrt{2}}{2}}=-1-\sqrt{2}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-2+2\sqrt{2}}{2}}=-1+\sqrt{2}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\left\{-1-\sqrt{2};\sqrt{2}-1\right\}$

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Part en pourcentagePourcentage d'évolutionIndicesSystème à deux inconnuesSystème à trois inconnuesSystème d'inéquationsFonctions généralitésFonctions associéesComposée de deux fonctionsFonctions de référenceSecond degré : fonctionsSecond degré : équation, inéquationSecond degré : applicationsStatistiqueProbabilitéVariable aléatoireLoi binomialeDérivée : lecture graphiqueDérivée d'une fonctionDérivée et variationLimites et dérivées : lecture graphiqueÉtude de fonctions (limites)SuitesFonctions affines par morceauxGéométrie dans l'espace (I)Équations de plansMatrices : calculsMatrices : Système d'équationMatrices : application à l'économieMatrices de transition

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.