contrôles en première ES spécialité

contrôle du 26 mai 2008

Corrigé de l'exercice 2

Pour la fabrication de deux produits A et B, on distingue quatre facteurs techniques de production : des unités de matières premières, des unités de conditionnement, des unités de main d'œuvre et des unités d'énergie.
Le tableau suivant indique les quantités d'unités de ces facteurs nécessaires à la production d'une unité de produit A et à celle d'une unité de produit B ainsi que la valeur estimée du coût de revient d'une unité de chacun de ces facteurs

Facteurs techniques	Produit A	Produit B	Coût de revient unitaire du facteur (en euros)
Nombre d'unités de matières premières	5	6	3
Nombre d'unités de conditionnement	3	4	1
Nombre d'unités de main d'œuvre	4	3	4
Nombre d'unités d'énergie	1	2	2

La marge bénéficiaire sur chaque produit A et B est un pourcentage du coût total de production. Elle est égale à 40 % pour le produit A et à 35 % pour le produit B.

On considère les matrices suivantes :

$F = (\begin{matrix} 5 & 3 & 4 & 1 \\ 6 & 4 & 3 & 2 \end{matrix})$ dont les éléments sont les quantités de facteurs de production nécessaires à la fabrication des deux produits A et B.
U dont les éléments sont les coûts unitaires des facteurs de production.
C dont les éléments sont les coûts de production des deux produits A et B.
V dont les éléments sont les prix de vente des deux produits A et B.

Déterminer les éléments de la matrice U de façon à ce que le produit des matrices F et U soit égal à la matrice C des coûts de production. Calculer la matrice C.
Soit $U = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})$ la matrice colonne dont les éléments sont les coûts unitaires de chacun des facteurs de production. $\begin{array}{l} F \times U & = & (\begin{matrix} 5 & 3 & 4 & 1 \\ 6 & 4 & 3 & 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 5 \times 3 + 3 \times 1 + 4 \times 4 + 1 \times 2 \\ 6 \times 3 + 4 \times 1 + 3 \times 4 + 2 \times 2 \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 36 \\ 38 \end{matrix}) \end{array}$
La matrice C des coûts de production est $C = (\begin{matrix} 36 \\ 38 \end{matrix})$ .
Déterminer les éléments de la matrice carrée M telle que la matrice V des prix de vente soit égale au produit des deux matrices M et C. Calculer V.
Le coefficient multiplicateur associé à une marge bénéficiaire de 40 % est égal à 1,4 et le coefficient multiplicateur associé à une marge de 35 % est égal à 1,35.
C'est à dire que les prix de vente des produits A et B sont respectivement $1,4 \times 36$ et $1,35 \times 38$ .
Posons $M = (\begin{matrix} 1,4 & 0 \\ 0 & 1,35 \end{matrix})$ le produit des deux matrices M×C est : $\begin{matrix} M \times C & = & (\begin{matrix} 1,4 & 0 \\ 0 & 1,35 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 36 \\ 38 \end{matrix}) & = & (\begin{array}{l} 1,4 \times 36 + 0 \times 38 \\ 0 \times 36 + 1,35 \times 38 \end{array}) & = & (\begin{matrix} 50,4 \\ 51,3 \end{matrix}) \end{matrix}$
La matrice V des prix de vente est $V = (\begin{matrix} 50,4 \\ 51,3 \end{matrix})$ .
Un client commande 15 unités de produit A et 20 unités de produit B, quelle opération matricielle doit-on effectuer pour obtenir le montant total (en euros) de la commande ? Quel est le montant de la commande ?
Le montant total de la commande est obtenu en effectuant le calcul suivant : $T = 15 \times 50,4 + 20 \times 51,3$
Soit $A = (\begin{matrix} 15 & 20 \end{matrix})$ la matrice ligne dont les éléments sont les nombres d'articles achetés par le client.
Le montant total des achats s'obtient alors en effectuant le produit matriciel A×V soit $\begin{matrix} A \times V & = & (\begin{matrix} 15 & 20 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 50,4 \\ 51,3 \end{matrix}) & = & (15 \times 50,4 + 20 \times 51,3) & = & (1782) \end{matrix}$
La commande s'élève à 1782 €.

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.