contrôles en première ES spécialité

contrôle du 26 mai 2008

Corrigé de l'exercice 2

Pour la fabrication de deux produits A et B, on distingue quatre facteurs techniques de production : des unités de matières premières, des unités de conditionnement, des unités de main d'œuvre et des unités d'énergie.
Le tableau suivant indique les quantités d'unités de ces facteurs nécessaires à la production d'une unité de produit A et à celle d'une unité de produit B ainsi que la valeur estimée du coût de revient d'une unité de chacun de ces facteurs

Facteurs techniques

Produit AProduit BCoût de revient unitaire du facteur (en euros)
Nombre d'unités de matières premières563
Nombre d'unités de conditionnement341
Nombre d'unités de main d'œuvre434
Nombre d'unités d'énergie122

La marge bénéficiaire sur chaque produit A et B est un pourcentage du coût total de production. Elle est égale à 40 % pour le produit A et à 35 % pour le produit B.

On considère les matrices suivantes :

  • F=53416432 dont les éléments sont les quantités de facteurs de production nécessaires à la fabrication des deux produits A et B.
  • U dont les éléments sont les coûts unitaires des facteurs de production.
  • C dont les éléments sont les coûts de production des deux produits A et B.
  • V dont les éléments sont les prix de vente des deux produits A et B.
  1. Déterminer les éléments de la matrice U de façon à ce que le produit des matrices F et U soit égal à la matrice C des coûts de production. Calculer la matrice C.

    Soit U=3142 la matrice colonne dont les éléments sont les coûts unitaires de chacun des facteurs de production. F×U=53416432×3142=5×3+3×1+4×4+1×26×3+4×1+3×4+2×2=3638

    La matrice C des coûts de production est C=3638.


  2. Déterminer les éléments de la matrice carrée M telle que la matrice V des prix de vente soit égale au produit des deux matrices M et C. Calculer V.

    Le coefficient multiplicateur associé à une marge bénéficiaire de 40 % est égal à 1,4 et le coefficient multiplicateur associé à une marge de 35 % est égal à 1,35.
    C'est à dire que les prix de vente des produits A et B sont respectivement 1,4×36 et 1,35×38.

    Posons M=1,4001,35 le produit des deux matrices M×C est : M×C=1,4001,35×3638=1,4×36+0×380×36+1,35×38=50,451,3

    La matrice V des prix de vente est V=50,451,3.


  3. Un client commande 15 unités de produit A et 20 unités de produit B, quelle opération matricielle doit-on effectuer pour obtenir le montant total (en euros) de la commande ? Quel est le montant de la commande ?

    Le montant total de la commande est obtenu en effectuant le calcul suivant : T=15×50,4+20×51,3

    Soit A=1520 la matrice ligne dont les éléments sont les nombres d'articles achetés par le client.
    Le montant total des achats s'obtient alors en effectuant le produit matriciel A×V soit A×V=1520×50,451,3=15×50,4+20×51,3=1782

    La commande s'élève à 1782 €.



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