contrôle du 26 mai 2008

Corrigé de l'exercice 2

1. Déterminer les éléments de la matrice U de façon à ce que le produit des matrices F et U soit égal à la matrice C des coûts de production. Calculer la matrice C.

   Soit $U=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ la matrice colonne dont les éléments sont les coûts unitaires de chacun des facteurs de production. $$\begin{array}{lllllll}F\times U& =& \left(\begin{array}{cccc}5& 3& 4& 1\\ 6& 4& 3& 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 4\\ 2\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}5\times 3+3\times 1+4\times 4+1\times 2\\ 6\times 3+4\times 1+3\times 4+2\times 2\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}36\\ 38\end{array}\right)\end{array}$$

   La matrice C des coûts de production est $C=\left(\begin{array}{c}36\\ 38\end{array}\right)$.

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2. Déterminer les éléments de la matrice carrée M telle que la matrice V des prix de vente soit égale au produit des deux matrices M et C. Calculer V.

   Le coefficient multiplicateur associé à une marge bénéficiaire de 40 % est égal à 1,4 et le coefficient multiplicateur associé à une marge de 35 % est égal à 1,35.
   C'est à dire que les prix de vente des produits A et B sont respectivement $\mathrm{1,4}\times 36$ et $\mathrm{1,35}\times 38$.

   Posons $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1,4}& 0\\ 0& \mathrm{1,35}\end{array}\right)$ le produit des deux matrices M×C est : $$\begin{array}{ccccccc}M\times C& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{1,4}& 0\\ 0& \mathrm{1,35}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}36\\ 38\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{l}\mathrm{1,4}\times 36+0\times 38\\ 0\times 36+\mathrm{1,35}\times 38\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}\mathrm{50,4}\\ \mathrm{51,3}\end{array}\right)\end{array}$$

   La matrice V des prix de vente est $V=\left(\begin{array}{c}\mathrm{50,4}\\ \mathrm{51,3}\end{array}\right)$.

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3. Un client commande 15 unités de produit A et 20 unités de produit B, quelle opération matricielle doit-on effectuer pour obtenir le montant total (en euros) de la commande ? Quel est le montant de la commande ?

   Le montant total de la commande est obtenu en effectuant le calcul suivant : $T=15\times \mathrm{50,4}+20\times \mathrm{51,3}$

   Soit $A=\left(\begin{array}{cc}15& 20\end{array}\right)$ la matrice ligne dont les éléments sont les nombres d'articles achetés par le client.
   Le montant total des achats s'obtient alors en effectuant le produit matriciel A×V soit $$\begin{array}{ccccccc}A\times V& =& \left(\begin{array}{cc}15& 20\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\mathrm{50,4}\\ \mathrm{51,3}\end{array}\right)& =& \left(15\times \mathrm{50,4}+20\times \mathrm{51,3}\right)& =& \left(1782\right)\end{array}$$

   La commande s'élève à 1782 €.

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