contrôles en première ES spécialité

contrôle du 26 mai 2008

thème:

Matrices

exercice 1

Résoudre le système $S : {\begin{array}{lcr} 2 x - 3 y + 4 z + 1 & = & 0 \\ 3 x + 2 y - 5 z - 3 & = & 0 \\ 5 x - 4 y + 2 z + 2 & = & 0 \end{array}$

exercice 2

Pour la fabrication de deux produits A et B, on distingue quatre facteurs techniques de production : des unités de matières premières, des unités de conditionnement, des unités de main d'œuvre et des unités d'énergie.
Le tableau suivant indique les quantités d'unités de ces facteurs nécessaires à la production d'une unité de produit A et à celle d'une unité de produit B ainsi que la valeur estimée du coût de revient d'une unité de chacun de ces facteurs

Facteurs techniques	Produit A	Produit B	Coût de revient unitaire du facteur (en euros)
Nombre d'unités de matières premières	5	6	3
Nombre d'unités de conditionnement	3	4	1
Nombre d'unités de main d'œuvre	4	3	4
Nombre d'unités d'énergie	1	2	2

La marge bénéficiaire sur chaque produit A et B est un pourcentage du coût total de production. Elle est égale à 40 % pour le produit A et à 35 % pour le produit B.

On considère les matrices suivantes :

$F = (\begin{matrix} 5 & 3 & 4 & 1 \\ 6 & 4 & 3 & 2 \end{matrix})$ dont les éléments sont les quantités de facteurs de production nécessaires à la fabrication des deux produits A et B.
U dont les éléments sont les coûts unitaires des facteurs de production.
C dont les éléments sont les coûts de production des deux produits A et B.
V dont les éléments sont les prix de vente des deux produits A et B.

Déterminer les éléments de la matrice U de façon à ce que le produit des matrices F et U soit égal à la matrice C des coûts de production. Calculer la matrice C.
Déterminer les éléments de la matrice carrée M telle que la matrice V des prix de vente soit égale au produit des deux matrices M et C. Calculer V.
Un supermarché commande 15 unités de produit A et 20 unités de produit B, quelle opération matricielle doit-on effectuer pour obtenir le montant total (en euros) de la commande ? Quel est le montant de la commande ?

exercice 3

On se place dans le cas d'une économie fermée à deux branches A et B.
Une partie de la production de chaque branche ne sert pas directement à la consommation finale, chaque branche utilisant des consommations intermédiaires de production pour travailler.

On suppose que :

La production d'une unité de la branche A consomme 0,1 unité de production du secteur A et 0,4 unité de production du secteur B.
La production d'une unité de la branche B consomme 0,3 unité de production du secteur A et 0,2 unité de production du secteur B.

La matrice $A = (\begin{matrix} 0,1 & 0,3 \\ 0,4 & 0,2 \end{matrix})$ est appelée la matrice des coefficients techniques. $X = (\begin{matrix} p_{A} \\ p_{B} \end{matrix})$ est la matrice production des productions totales exprimées en unité monétaire de chaque branche et $D = (\begin{matrix} d_{A} \\ d_{B} \end{matrix})$ est la matrice demande des consommations finales exprimées en unité monétaire de chaque branche.

On considère dans tout l'exercice que X, A et D vérifient l'égalité matricielle : $\underset{Production totale}{\underset{︸}{X}} = \underset{Consommations intermédiaires}{\underset{︸}{A X}} + \underset{Consommations finales}{\underset{︸}{D}}$

On suppose dans cette question que la production totale $p_{A}$ de la branche A est de 400 unités monétaires et que la production totale $p_{B}$ de la branche B est de 500 unités monétaires.
1. Déterminer les consommations intermédiaires de chacune des deux branches.
2. Quelles sont les consommations finales de chacune des deux branches ?
On note $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ la matrice identité d'ordre 2. La matrice $I_{2} - A$ est inversible et ${(I_{2} - A)}^{- 1} = (\begin{matrix} \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{3}{3} \end{matrix})$ .
1. Montrer que $X = {(I_{2} - A)}^{- 1} D$ .
2. Si la demande des consommations finales en unité monétaire est $D = (\begin{matrix} 180 \\ 270 \end{matrix})$ , quelle doit être la production de chaque branche pour satisfaire la demande des consommations finales ?

exercice 4

Trois opérateurs de téléphonie mobile A, B et C se partagent un marché, tout individu souscrit un abonnement auprès de A de B ou de C.
On a constaté que d'une année sur l'autre :

10% des clients de A changent de fournisseur pour un abonnement auprès de B et 15% des clients de A changent de fournisseur pour un abonnement auprès de C.
12% des clients de B changent de fournisseur pour un abonnement auprès de A et 18% des clients de B changent de fournisseur pour un abonnement auprès de C.
8% des clients de C changent de fournisseur pour un abonnement auprès de A et 12% des clients de C changent de fournisseur pour un abonnement auprès de B.

On considère que ces résultats sont valables pour les trois années suivantes et que le marché étant saturé, le nombre des abonnés est stable.

Soit $a_{0}$ , $b_{0}$ et $c_{0}$ les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C à la date $t = 0$ . Exprimer $a_{1}$ , $b_{1}$ et $c_{1}$ les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C un an plus tard en fonction de $a_{0}$ , $b_{0}$ et $c_{0}$ .
On note $X_{0} = (\begin{matrix} a_{0} \\ b_{0} \\ c_{0} \end{matrix})$ la matrice dont les éléments représentent les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C à la date $t = 0$ et $X_{n} = (\begin{matrix} a_{n} \\ b_{n} \\ c_{n} \end{matrix})$ la matrice dont les éléments représentent les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C n années plus tard.
Exprimer sous forme matricielle la relation liant $X_{1}$ et $X_{0}$ . On notera M la matrice telle que $X_{1} = M \times X_{0}$
Actuellement, le fournisseur A détient 48% des parts de marché et le fournisseur B 36% des parts de marché. Soit $X_{0} = (\begin{matrix} 0,48 \\ 0,36 \\ 0,16 \end{matrix})$ .
1. Déterminer les parts de marché des fournisseurs A, B et C dans un an.
2. Écrire la relation matricielle liant $X_{3}$ , M et $X_{0}$ . En déduire une prévision des parts de marché, des trois fournisseurs dans trois ans (Sous forme de pourcentages arrondis au centième).

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