contrôles en première ES spécialité

contrôle du 26 mai 2008

Corrigé de l'exercice 3

On se place dans le cas d'une économie fermée à deux branches A et B.
Une partie de la production de chaque branche ne sert pas directement à la consommation finale, chaque branche utilisant des consommations intermédiaires de production pour travailler.
On suppose que :

  • La production d'une unité de la branche A consomme 0,1 unité de production du secteur A et 0,4 unité de production du secteur B.
  • La production d'une unité de la branche B consomme 0,3 unité de production du secteur A et 0,2 unité de production du secteur B.

La matrice A=0,10,30,40,2 est appelée la matrice des coefficients techniques. X=pApB est la matrice production des productions totales exprimées en unité monétaire de chaque branche et D=dAdB est la matrice demande des consommations finales exprimées en unité monétaire de chaque branche.

On considère dans tout l'exercice que X, A et D vérifient l'égalité matricielle : XProduction totale=AXConsommations intermédiaires+DConsommations finales

  1. On suppose dans cette question que la production totale pA de la branche A est de 400 unités monétaires et que la production totale pB de la branche B est de 500 unités monétaires.

    1. Déterminer les consommations intermédiaires de chacune des deux branches.

      La matrice des consommations intermédiaires est : AX=0,10,30,40,2×400500=0,1×400+0,3×5000,4×400+0,2×500=190260

      Les consommations intermédiaires sont de 190 unités monétaires pour la branche A et de 260 unités monétaires pour la branche B.


    2. Quelles sont les consommations finales de chacune des deux branches ?

      X, A et D vérifient l'égalité matricielle X=AX+D alors D=X-AX soit D=400500-0,10,30,40,2×400500=400500-190260=210240

      Les consommations finales sont de 210 unités monétaires pour la branche A et de 240 unités monétaires pour la branche B.


  2. On note I2=1001 la matrice identité d'ordre 2. La matrice I2-A est inversible et I2-A-1=43122332.

    1. Montrer que X=I2-A-1D.

      Nous avons les équivalences suivantes : X=AX+DX-AX=DI2X-AX=DI2-AX=D

      Or la matrice I2-A est inversible donc I2-A-1I2-AX=I2-A-1DX=I2-A-1D

      La matrice I2-A est inversible donc X=I2-A-1D.


    2. Si la demande des consommations finales en unité monétaire est D=180270, quelle doit être la production de chaque branche pour satisfaire la demande des consommations finales ?

      X=I2-A-1D avec I2-A-1=43122332 d'où : X=43122332×180270=43×180+12×27023×180+32×270=375525

      Pour satisfaire la demande des consommations finales, la production de la branche A est de 375 unités monétaires et celle de la branche B 525 unités monétaires.



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