contrôle du 26 mai 2008

Corrigé de l'exercice 3

1. On suppose dans cette question que la production totale $p_A$ de la branche A est de 400 unités monétaires et que la production totale $p_B$ de la branche B est de 500 unités monétaires.

   1. Déterminer les consommations intermédiaires de chacune des deux branches.

      La matrice des consommations intermédiaires est : $$\begin{array}{lllllll}AX& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}400\\ 500\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\times 400+\mathrm{0,3}\times 500\\ \mathrm{0,4}\times 400+\mathrm{0,2}\times 500\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}190\\ 260\end{array}\right)\end{array}$$

      Les consommations intermédiaires sont de 190 unités monétaires pour la branche A et de 260 unités monétaires pour la branche B.

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   2. Quelles sont les consommations finales de chacune des deux branches ?

      X, A et D vérifient l'égalité matricielle $X=AX+D$ alors $D=X-AX$ soit $$\begin{array}{lll}D& =& \left(\begin{array}{c}400\\ 500\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}400\\ 500\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}400\\ 500\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}190\\ 260\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}210\\ 240\end{array}\right)\end{array}$$

      Les consommations finales sont de 210 unités monétaires pour la branche A et de 240 unités monétaires pour la branche B.

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2. On note $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ la matrice identité d'ordre 2. La matrice $I_2-A$ est inversible et ${\left(I_2-A\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{4}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\right)$.

   1. Montrer que $X={\left(I_2-A\right)}^{-1}D$.

      Nous avons les équivalences suivantes : $$\begin{array}{lll}X=AX+D& \iff & X-AX=D\\ & \iff & I_{2}X-AX=D\\ & \iff & \left(I_2-A\right)X=D\end{array}$$

      Or la matrice $I_2-A$ est inversible donc $$\begin{array}{lll}{\left(I_2-A\right)}^{-1}\left(I_2-A\right)X={\left(I_2-A\right)}^{-1}D& \iff & X={\left(I_2-A\right)}^{-1}D\end{array}$$

      La matrice $I_2-A$ est inversible donc $X={\left(I_2-A\right)}^{-1}D$.

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   2. Si la demande des consommations finales en unité monétaire est $D=\left(\begin{array}{c}180\\ 270\end{array}\right)$, quelle doit être la production de chaque branche pour satisfaire la demande des consommations finales ?

      $X={\left(I_2-A\right)}^{-1}D$ avec ${\left(I_2-A\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{4}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\right)$ d'où : $$\begin{array}{lllllll}X& =& \left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{4}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}180\\ 270\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{4}{3}}\times 180+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times 270\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}\times 180+{\displaystyle \frac{3}{2}}\times 270\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}375\\ 525\end{array}\right)\end{array}$$

      Pour satisfaire la demande des consommations finales, la production de la branche A est de 375 unités monétaires et celle de la branche B 525 unités monétaires.

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