contrôles en première ES spécialité

contrôle du 26 mai 2008

Corrigé de l'exercice 4

Trois opérateurs de téléphonie mobile A, B et C se partagent un marché, tout individu souscrit un abonnement auprès de A de B ou de C.
On a constaté que d'une année sur l'autre :

  • 10% des clients de A changent de fournisseur pour un abonnement auprès de B et 15% des clients de A changent de fournisseur pour un abonnement auprès de C.
  • 12% des clients de B changent de fournisseur pour un abonnement auprès de A et 18% des clients de B changent de fournisseur pour un abonnement auprès de C.
  • 8% des clients de C changent de fournisseur pour un abonnement auprès de A et 12% des clients de C changent de fournisseur pour un abonnement auprès de B.

On considère que ces résultats sont valables pour les trois années suivantes et que le marché étant saturé, le nombre des abonnés est stable.

  1. Soit a0, b0 et c0 les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C à la date t=0. Exprimer a1, b1 et c1 les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C un an plus tard en fonction de a0, b0 et c0.

    • 10% des clients de A changent de fournisseur pour un abonnement auprès de B et 15% des clients de A changent de fournisseur pour un abonnement auprès de C donc 75% des clients renouvellent leur abonnement auprès de A. D'autre part, 12% des clients de B changent de fournisseur pour un abonnement auprès de A et 8% des clients de C changent de fournisseur pour un abonnement auprès de A.

      La part de marché a1 du fournisseur A dans un an sera a1=0,75a0+0,12b0+0,08c0.


    • 12% des clients de B changent de fournisseur pour un abonnement auprès de A et 18% des clients de B changent de fournisseur pour un abonnement auprès de C donc 70% des clients renouvellent leur abonnement auprès de B. D'autre part, 10% des clients de A changent de fournisseur pour un abonnement auprès de B et 12% des clients de C changent de fournisseur pour un abonnement auprès de B.

      La part de marché b1 du fournisseur B dans un an sera b1=0,1a0+0,7b0+0,12c0.


    • 8% des clients de C changent de fournisseur pour un abonnement auprès de A et 12% des clients de C changent de fournisseur pour un abonnement auprès de B donc C conserve 80% de ses clients. D'autre part, 15% des clients de A changent de fournisseur pour un abonnement auprès de C et 18% des clients de B changent de fournisseur pour un abonnement auprès de C.

      La part de marché c1 du fournisseur C dans un an sera c1=0,15a0+0,18b0+0,8c0.


  2. On note X0=a0b0c0 la matrice dont les éléments représentent les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C à la date t=0 et Xn=anbncn la matrice dont les éléments représentent les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C n années plus tard.
    Exprimer sous forme matricielle la relation liant X1 et X0. On notera M la matrice telle que X1=M×X0

    Soit M=0,750,120,080,10,70,120,150,180,8, nous avons : M×X0=0,750,120,080,10,70,120,150,180,8×a0b0c0=0,75a0+0,12b0+0,08c00,1a0+0,7b0+0,12c00,15a0+0,18b0+0,8c0=a1b1c1

    Ainsi, X1=M×X0 avec M=0,750,120,080,10,70,120,150,180,8.


  3. Actuellement, le fournisseur A détient 48% des parts de marché et le fournisseur B 36% des parts de marché. Soit X0=0,480,360,16.

    1. Déterminer les parts de marché des fournisseurs A, B et C dans un an.

      X1=0,750,120,080,10,70,120,150,180,8×0,480,360,16=0,75×0,48+0,12×0,36+0,08×0,160,1×0,48+0,7×0,36+0,12×0,160,15×0,48+0,18×0,36+0,8×0,16=0,4160,31920,2648

      Dans un an, A détiendra 41,6% des parts de marché, B 31,92% des parts de marché et le fournisseur C 26,48% des parts de marché.


    2. Écrire la relation matricielle liant X3, M et X0. En déduire une prévision des parts de marché, des trois fournisseurs dans trois ans (Sous forme de pourcentages arrondis au centième).

      Nous avons X2=M×X1 d'où X2=M×M×X0 soit X2=M2×X0.

      De même, X3=M×X2 d'où X2=M×M2×X0 soit X3=M3×X0 .


      Donc X3=0,750,120,080,10,70,120,150,180,83×0,480,360,160,34080,28470,3745

      Dans trois ans, les parts de marché des trois fournisseurs seront respectivement A 34,08%, B 28,47% et C 37,45%.



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