contrôle du 26 mai 2008

Corrigé de l'exercice 4

1. Soit $a_0$, $b_0$ et $c_0$ les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C à la date $t=0$. Exprimer $a_1$, $b_1$ et $c_1$ les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C un an plus tard en fonction de $a_0$, $b_0$ et $c_0$.

   • 10% des clients de A changent de fournisseur pour un abonnement auprès de B et 15% des clients de A changent de fournisseur pour un abonnement auprès de C donc 75% des clients renouvellent leur abonnement auprès de A. D'autre part, 12% des clients de B changent de fournisseur pour un abonnement auprès de A et 8% des clients de C changent de fournisseur pour un abonnement auprès de A.

     La part de marché $a_1$ du fournisseur A dans un an sera $a_1=\mathrm{0,75}{a}_0+\mathrm{0,12}{b}_0+\mathrm{0,08}{c}_0$.

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   • 12% des clients de B changent de fournisseur pour un abonnement auprès de A et 18% des clients de B changent de fournisseur pour un abonnement auprès de C donc 70% des clients renouvellent leur abonnement auprès de B. D'autre part, 10% des clients de A changent de fournisseur pour un abonnement auprès de B et 12% des clients de C changent de fournisseur pour un abonnement auprès de B.

     La part de marché $b_1$ du fournisseur B dans un an sera $b_1=\mathrm{0,1}{a}_0+\mathrm{0,7}{b}_0+\mathrm{0,12}{c}_0$.

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   • 8% des clients de C changent de fournisseur pour un abonnement auprès de A et 12% des clients de C changent de fournisseur pour un abonnement auprès de B donc C conserve 80% de ses clients. D'autre part, 15% des clients de A changent de fournisseur pour un abonnement auprès de C et 18% des clients de B changent de fournisseur pour un abonnement auprès de C.

     La part de marché $c_1$ du fournisseur C dans un an sera $c_1=\mathrm{0,15}{a}_0+\mathrm{0,18}{b}_0+\mathrm{0,8}{c}_0$.

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2. On note $X_0=\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ b_0\\ c_0\end{array}\right)$ la matrice dont les éléments représentent les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C à la date $t=0$ et $X_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\\ c_n\end{array}\right)$ la matrice dont les éléments représentent les parts de marché respectives des fournisseurs A, B et C n années plus tard.
   Exprimer sous forme matricielle la relation liant $X_1$ et $X_0$. On notera M la matrice telle que $X_1=M\times X_0$

   Soit $M=\left(\begin{array}{lll}\mathrm{0,75}& \mathrm{0,12}& \mathrm{0,08}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,12}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,18}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$, nous avons : $$\begin{array}{ccccccc}M\times X_0& =& \left(\begin{array}{lll}\mathrm{0,75}& \mathrm{0,12}& \mathrm{0,08}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,12}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,18}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{a}_0\\ b_0\\ c_0\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{l}\mathrm{0,75}{a}_0+\mathrm{0,12}{b}_0+\mathrm{0,08}{c}_0\\ \mathrm{0,1}{a}_0+\mathrm{0,7}{b}_0+\mathrm{0,12}{c}_0\\ \mathrm{0,15}{a}_0+\mathrm{0,18}{b}_0+\mathrm{0,8}{c}_0\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\\ c_1\end{array}\right)\end{array}$$

   Ainsi, $X_1=M\times X_0$ avec $M=\left(\begin{array}{lll}\mathrm{0,75}& \mathrm{0,12}& \mathrm{0,08}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,12}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,18}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$.

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3. Actuellement, le fournisseur A détient 48% des parts de marché et le fournisseur B 36% des parts de marché. Soit $X_0=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,48}\\ \mathrm{0,36}\\ \mathrm{0,16}\end{array}\right)$.

   1. Déterminer les parts de marché des fournisseurs A, B et C dans un an.

      $$\begin{array}{ccccccc}{X}_1& =& \left(\begin{array}{lll}\mathrm{0,75}& \mathrm{0,12}& \mathrm{0,08}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,12}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,18}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,48}\\ \mathrm{0,36}\\ \mathrm{0,16}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{l}\mathrm{0,75}\times \mathrm{0,48}+\mathrm{0,12}\times \mathrm{0,36}+\mathrm{0,08}\times \mathrm{0,16}\\ \mathrm{0,1}\times \mathrm{0,48}+\mathrm{0,7}\times \mathrm{0,36}+\mathrm{0,12}\times \mathrm{0,16}\\ \mathrm{0,15}\times \mathrm{0,48}+\mathrm{0,18}\times \mathrm{0,36}+\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,16}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{l}\mathrm{0,416}\\ \mathrm{0,3192}\\ \mathrm{0,2648}\end{array}\right)\end{array}$$

      Dans un an, A détiendra 41,6% des parts de marché, B 31,92% des parts de marché et le fournisseur C 26,48% des parts de marché.

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   2. Écrire la relation matricielle liant $X_3$, M et $X_0$. En déduire une prévision des parts de marché, des trois fournisseurs dans trois ans (Sous forme de pourcentages arrondis au centième).

      Nous avons $X_2=M\times X_1$ d'où $X_2=M\times \left(M\times X_0\right)$ soit $X_2=M^2\times X_0$.

      De même, $X_3=M\times X_2$ d'où $X_2=M\times \left(M^2\times X_0\right)$ soit $X_3=M^3\times X_0$ .

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      Donc $$\begin{array}{ccccc}{X}_3& =& {\left(\begin{array}{lll}\mathrm{0,75}& \mathrm{0,12}& \mathrm{0,08}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,12}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,18}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)}^3\times \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,48}\\ \mathrm{0,36}\\ \mathrm{0,16}\end{array}\right)& \approx & \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,3408}\\ \mathrm{0,2847}\\ \mathrm{0,3745}\end{array}\right)\end{array}$$

      Dans trois ans, les parts de marché des trois fournisseurs seront respectivement A 34,08%, B 28,47% et C 37,45%.

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