contrôle du 03 octobre 2011

Corrigé de l'exercice 1

Rappel : Une fonction polynôme du second degré P est une fonction définie pour tout nombre réel x par $P\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ avec $a\ne 0$.

1. Soit f est une fonction polynôme du second degré telle que le maximum de la fonction f soit égal à 0. Parmi les propositions suivantes quelles sont celles qui sont exactes ?

   1. $a>0$ et $\mathrm{\Delta }<0$.

   2. $a<0$ et $\mathrm{\Delta }=0$.

   3. $a<0$ et $\mathrm{\Delta }<0$.

   4. La courbe représentatve de la fonction f coupe l'axe des abscisses en deux points.

   5. L'équation $f\left(x\right)=0$ admet une seule solution.

   Le maximum de la fonction f est égal à 0. Par conséquent, pour tout nombre réel x, $f\left(x\right)⩽0$. Ainsi, f est une fonction polynôme du second degré telle que $f\left(x\right)⩽0$ donc :

   $a<0$, $\mathrm{\Delta }=0$ et l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une seule solution.

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2. Les 4 paraboles ci-dessous, sont les courbes représentatives de quatre fonctions polynôme du second degré $f_1$, $f_2$, $f_3$ et $f_4$.

   À partir des informations données sur le signe de a et sur le discriminant, associer à chaque fonction sa courbe représentative :
   $f_1$ : $a>0$ et $\mathrm{\Delta }<0$ ;    $f_2$ : $a>0$ et $\mathrm{\Delta }>0$ ;   $f_3$ : $a<0$ et $\mathrm{\Delta }=0$ ;   $f_4$ : $a<0$ et $\mathrm{\Delta }>0$.

   • La parabole $C_1$ est la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré admettant un maximum donc $a<0$. D'autre part, la parabole $C_1$ coupe l'axe des abscisses en deux points donc le polynôme admet deux racines d'où $\mathrm{\Delta }>0$.

     $C_1$ est la courbe représentative de la fonction $f_4$.

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   • La parabole $C_2$ est la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré admettant un minimum donc $a>0$. D'autre part, la parabole $C_2$ ne coupe pas l'axe des abscisses donc le polynôme n'a pas de racines d'où $\mathrm{\Delta }<0$.

     $C_2$ est la courbe représentative de la fonction $f_1$.

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   • La parabole $C_3$ est la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré admettant un minimum donc $a>0$. D'autre part, la parabole $C_3$ coupe l'axe des abscisses en deux points donc le polynôme admet deux racines d'où $\mathrm{\Delta }>0$.

     $C_3$ est la courbe représentative de la fonction $f_2$.

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   • La parabole $C_4$ est la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré admettant un maximum donc $a<0$. D'autre part, la parabole $C_4$ est tangente en un point à l'axe des abscisses donc le polynôme admet une racine d'où $\mathrm{\Delta }=0$.

     $C_4$ est la courbe représentative de la fonction $f_3$.

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