contrôles en première ES

contrôle du 03 octobre 2011

Corrigé de l'exercice 4

Une entreprise fabrique un produit « Bêta ». La production mensuelle ne peut pas dépasser 15 000 articles.
Le coût total, exprimé en milliers d'euros, de fabrication de x milliers d'articles est modélisé par la fonction C définie sur $] 0; 15]$ par $C (x) = 0,5 x^{2} + 0,6 x + 8,16$ .
La représentation graphique Γ de la fonction coût total est donnée dans l'annexe ci-dessous à rendre avec la copie.
On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8 €.

Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre 4000 articles ou fabriquer et vendre 1200 articles ?
- Calculons le montant du bénéfice que l'entreprise peut obtenir si elle vend 4 milliers d'articles :
  Le coût total exprimé en milliers d'euros pour la fabrication de 4 milliers d'articles est $C (4) = 0,5 \times 4^{2} + 0,6 \times 4 + 8,16 = 18,56$
  La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de de 4 milliers d'articles est $R (4) = 8 \times 4 = 32$
  Or $R (4) - C (4) = 32 - 18,56 = 13,44$
  Si l'entreprise fabrique et vend 4000 articles elle gagne 13440 €.
- Calculons le montant du bénéfice que l'entreprise peut obtenir si elle vend 12 milliers d'articles :
  Le coût total exprimé en milliers d'euros pour la fabrication de 12 milliers d'articles est $C (12) = 0,5 \times 12^{2} + 0,6 \times 12 + 8,16 = 87,36$
  La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de de 12 milliers d'articles est $R (12) = 8 \times 12 = 96$
  Or $R (12) - C (12) = 96 - 87,36 = 8,64$
  Si l'entreprise fabrique et vend 12000 articles elle gagne 8640 €.
Il est plus avantageux pour l'entreprise de fabriquer et vendre 4000 articles.
On désigne par $R (x)$ le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de x milliers d'articles du produit « Bêta ». On a donc $R (x) = 8 x$ .
1. Tracer dans le repère donné en annexe, la courbe représentative D de la fonction recette.
  La courbe représentative de la fonction recette est la droite D d'équation $y = 8 x$ passant par l'origine du repère et le point de coordonnées $(15; 120)$
2. Par lecture graphique et avec la précision permise par le dessin, déterminer :
  − l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif ;
  − la production $x_{0}$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
  - L'entreprise réalise un bénéfice positif quand les coûts de production sont inférieurs à la recette.
    Graphiquement, les solutions de l'inéquation $R (x) ⩾ C (x)$ sont les abscisses des points pour lesquels la droite D est au dessus de la courbe Γ.
    Soit avec la précision permise par le dessin, sur l'intervalle $[1,2; 13,6]$
    L'entreprise réalise un bénéfice positif pour une production comprise entre 1200 et 13600 articles.
  - Le bénéfice maximum est obtenu pour une production $x_{0}$ de l'intervalle $[1,2; 13,6]$ telle que la distance entre la droite D et la courbe Γ soit la plus grande possible.
    Le bénéfice maximal semble être obtenu pour une production de 7400 articles.
On désigne par $B (x)$ le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles.
1. Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles, est donné par $B (x) = - 0,5 x^{2} + 7,4 x - 8,16$ , avec $x \in] 0; 15]$ .
  Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle $] 0; 15]$ par $B (x) = R (x) - C (x)$ . Soit pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 15]$ , $\begin{matrix} B (x) & = & 8 x - (0,5 x^{2} + 0,6 x + 8,16) \\ = & 8 x - 0,5 x^{2} - 0,6 x - 8,16 \\ = & - 0,5 x^{2} + 7,4 x - 8,16 \end{matrix}$
  Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle $] 0; 15]$ par $B (x) = - 0,5 x^{2} + 7,4 x - 8,16$ , avec $x \in] 0; 15]$ .
2. Étudier le signe de $B (x)$ . En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
  Cherchons les racines éventuelles du polynôme du second degré $x ⟼ - 0,5 x^{2} + 7,4 x - 8,16$ avec $a = - 0,5$ , $b = 7,4$ et $c = - 8,16$ .
  Le discriminant du trinôme est $Δ = b^{2} - 4 a c$ d'où : $\begin{matrix} Δ = {7,4}^{2} - 4 \times (- 0,5) \times (- 8,16) = 38,44 \end{matrix}$
  $Δ > 0$ donc le trinôme admet deux racines : $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{1} = \frac{- 7,4 - 6,2}{2 \times (- 0,5)} = 13,6 \\ et & x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{2} = \frac{- 7,4 + 6,2}{2 \times (- 0,5)} = 1,2 \end{array}$
  Nous pouvons déduire le tableau du signe de $B (x)$ sur l'intervalle $] 0; 15]$ :
  x 0 1,2 13,6 15
  $B (x)$ − $0_{|}^{|}$ + $0_{|}^{|}$ −
  L'ensemble solution de l'inéquation $B (x) ⩾ 0$ est $S = [1,2; 13,6]$
  L'entreprise réalise un bénéfice positif pour une production comprise entre 1200 et 13600 articles.
3. Étudier les variations de la fonction B sur $] 0; 15]$ . En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
  La fonction définie pour tout nombre réel x par $x ⟼ - 0,5 x^{2} + 7,4 x - 8,16$ est une fonction polynôme du second degré avec $a = - 0,5$ donc cette fonction admet un maximum atteint pour $x = - \frac{b}{2 a}$ soit $x = - \frac{7,4}{2 \times (- 0,5)} = 7,4$
  Par conséquent, le maximum de la fonction B sur $] 0; 15]$ est : $B (7,4) = - 0,5 \times {7,4}^{2} + 7,4 \times 7,4 - 8,16 = 19,22$
  D'où le tableau des variations de de la fonction B :
  x 0 7,4 15
  $B (x)$
  19,22
  Le bénéfice maximal est de 19220 € obtenu pour la production et la vente de 7400 articles.

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x		0		1,2		13,6		15
$B (x)$			−	$0_{\|}^{\|}$	+	$0_{\|}^{\|}$	−

x	0				7,4		15
$B (x)$					19,22