contrôles en première ES

contrôle du 03 octobre 2011

Le second degré :

  • Équations et inéquations
  • Variations
  • Étude d'un bénéfice

exercice 1

Rappel : Une fonction polynôme du second degré P est une fonction définie pour tout nombre réel x par Px=ax2+bx+c avec a0.

  1. Soit f est une fonction polynôme du second degré telle que le maximum de la fonction f soit égal à 0.
    Parmi les propositions suivantes quelles sont celles qui sont exactes ?

    1. a>0 et Δ<0.

    2. a<0 et Δ=0.

    3. a<0 et Δ<0.

    4. La courbe représentatve de la fonction f coupe l'axe des abscisses en deux points.

    5. L'équation fx=0 admet une seule solution.

  2. Les 4 paraboles ci-dessous, sont les courbes représentatives de quatre fonctions polynôme du second degré f1, f2, f3 et f4.

    Courbe C1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe C2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe C4 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    À partir des informations données sur le signe de a et sur le discriminant, associer à chaque fonction sa courbe représentative :
    f1 : a>0 et Δ<0 ;    f2 : a>0 et Δ>0 ;   f3 : a<0 et Δ=0 ;   f4 : a<0 et Δ>0.


exercice 2

Donner le tableau des variations de chacune des fonctions suivantes :

  1. f est définie sur par fx=-2x2+8x-7.

  2. f est définie sur par fx=x2-x2-3.


exercice 3

  1. Résoudre dans les équations suivantes :

    1. 2x2+3x-2=0.

    2. 5x2-9x+3=-4x2+3x-1.

  2. Résoudre dans les inéquations suivantes :

    1. -6x2-x+20.

    2. 4x2<8x-3.


exercice 4

Une entreprise fabrique un produit « Bêta ». La production mensuelle ne peut pas dépasser 15 000 articles.
Le coût total, exprimé en milliers d'euros, de fabrication de x milliers d'articles est modélisé par la fonction C définie sur 015 par :Cx=0,5x2+0,6x+8,16 La représentation graphique Γ de la fonction coût total est donnée dans l'annexe ci-dessous à rendre avec la copie.

On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8 €.

  1. Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre 4 000 articles ou fabriquer et vendre 12 00 articles ?

  2. On désigne par Rx le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de x milliers d'articles du produit « Bêta ». On a donc Rx=8x.

    1. Tracer dans le repère donné en annexe, la courbe D représentative de la fonction recette.

    2. Par lecture graphique et avec la précision permise par le dessin, déterminer :
      − l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif ;
      − la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.

  3. On désigne par Bx le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles.

    1. Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles, est donné par Bx=-0,5x2+7,4x-8,16, avec x015.

    2. Étudier le signe de Bx. En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).

    3. Étudier les variations de la fonction B sur 015. En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?

annexe

Courbe représentative de la fonction coût : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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