contrôle du 07 novembre 2011

Corrigé de l'exercice 1

1. Après une hausse de 8% le prix d'un article est de 243€. Quel était le prix de cet article avant la hausse ?

   Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 8% est :$$1+{\displaystyle \frac{8}{100}}=\mathrm{1,08}$$

   Augmenter un prix de 8% revient à multiplier ce prix par 1,08.

   Soit x le montant en euros, du prix initial. Alors x est solution de l'équation : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{1,08}x=243& \iff & x={\displaystyle \frac{243}{\mathrm{1,08}}}=225\end{array}$$

   Avant l'augmentation, le prix de l'article était de 225€.

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2. Après une baisse de 5% le prix d'un article est de 152€. Quel était le prix de cet article avant la baisse ?

   Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 5% est :$$1-{\displaystyle \frac{5}{100}}=\mathrm{0,95}$$

   Diminuer un prix de 5% revient à multiplier ce prix par 0,95.

   Soit x le montant en euros, du prix initial. Alors x est solution de l'équation : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,95}x=152& \iff & x={\displaystyle \frac{152}{\mathrm{0,95}}}=160\end{array}$$

   Avant la baisse, le prix de l'article était de 160€.

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3. Quel est le pourcentage d'évolution d'un article qui baisse successivement de 8% puis de 5%  ?

   Les coefficients multiplicateurs associés respectivement à une baisse de 8% et de 5% sont : $$\begin{array}{ccc}1-{\displaystyle \frac{8}{100}}=\mathrm{0,92}& \text{et}& 1-{\displaystyle \frac{5}{100}}=\mathrm{0,95}\end{array}$$

   Un article dont le prix baisse successivement de 8% puis de 5% a son prix multiplié successivement par 0,92 et 0,95.

   En effet, soit $V_0$ la valeur initiale de l'article, la valeur $V_1$ de cet article après les deux baisses successives de 8% puis de 5% est : $$\begin{array}{ccc}{V}_1=\left(V_0\times \mathrm{0,92}\right)\times \mathrm{0,95}& \iff & V_1=V_0\times \mathrm{0,874}\end{array}$$

   Ainsi, le coefficient multiplicateur associé aux deux baisses successives est égal à 0,874. Soit t le taux du pourcentage global d'évolution associé. Nous avons :$$\begin{array}{ccc}1+{\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{0,874}& \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{0,874}-1\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}=-\mathrm{0,126}\hfill \end{array}$$

   Donc le prix de l'article a finalement baissé de 12,6%.

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4. Le cours d'une action a baissé de 20%. Quel devra être le taux du pourcentage d'augmentation pour que cette action retrouve son cours initial  ?

   Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 20% est :$$1+{\displaystyle \frac{20}{100}}=\mathrm{0,8}$$

   Soit $V_0$ le cours initial de l'action et x le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'augmentation, alors $\left(V_0\times \mathrm{0,8}\right)\times x=V_0$. Soit $$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,8}x=1& \iff & x={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,8}}}=\mathrm{1,25}\end{array}$$

   Soit t le taux du pourcentage d'augmentation associé. Nous avons :$$\begin{array}{ccc}1+{\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{1,25}& \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{1,25}-1\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{0,25}\hfill \end{array}$$

   Pour revenir à son cours initial, le cours de cette action devra augmenter de 25%.

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