contrôle du 07 novembre 2011

Corrigé de l'exercice 5

Pendant la période des soldes, un magasin affiche une remise de t% sur les prix des différents articles. Pour les clients titulaires de la carte de fidélité, une remise supplémentaire de $\mathrm{0,5}t\%$ sur le prix soldé est accordée.
Un client qui bénéficie de ces deux remises paye 180 € un article dont le prix initial était de 250 €.

Calculer la valeur du taux t.

Les coefficients multiplicateurs associés aux remises successives de t% et $\mathrm{0,5}t\%$ sont respectivement :$$\begin{array}{ccc}1-{\displaystyle \frac{t}{100}}& \text{et}& 1-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}t}{100}}\end{array}$$

Par conséquent, t est solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}250\times \left(1-{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)\times \left(1-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}t}{100}}\right)=180& \iff & \left(250-\mathrm{2,5}t\right)\times \left(1-\mathrm{0,005}t\right)=180\hfill \\ & \iff & 250-\mathrm{1,25}t-\mathrm{2,5}t+\mathrm{0,0125}{t}^2-180=0\hfill \\ & \iff & \mathrm{0,0125}{t}^2-\mathrm{3,75}t+70=0\hfill \end{array}$$

Ainsi, t est solution l'équation du second degré $\mathrm{0,0125}{t}^2-\mathrm{3,75}t+70=0$ avec $a=\mathrm{0,0125}$, $b=-\mathrm{3,75}$ et $c=70$.

Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-\mathrm{3,75}\right)}^2-4\times \mathrm{0,0125}\times 70=\mathrm{10,5625}\end{array}$$

$\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& t_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& t_1={\displaystyle \frac{\mathrm{3,75}-\mathrm{3,25}}{2\times \mathrm{0,0125}}}=20\\ \text{et}& t_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& t_2={\displaystyle \frac{\mathrm{3,75}+\mathrm{3,25}}{2\times \mathrm{0,0125}}}=280\end{array}$$

Or dans le cadre de l'énoncé une remise de t% sur les prix affichés correspond à un taux $t<100$ soit $t=20$

La remise pendant les soldes est de 20% sur les prix affichés. Pour les clients titulaires de la carte de fidélité, la remise supplémentaire est de 10%.

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