contrôle du 07 novembre 2011

Corrigé de l'exercice 4

1. À l'aide du graphique et en argumentant la réponse, déterminer si la demande est excédentaire quand le prix de vente d'un article est de 1 €.

   La droite d'équation $y=1$ coupe la courbe représentative de la fonction d'offre au point d'abscisse $q=2$ et la courbe représentative de la fonction demande au point d'abscisse $q=10$.

   Par conséquent, au prix de 1 €, les entreprises ne produisent que deux millions d'articles alors que les consommateurs seraient prêts à acheter dix millions d'articles à ce prix.

   Avec un prix de vente de 1 €, la demande est excédentaire.

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2. On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 4,50 €.

   1. Calculer la quantité d'articles offerte sur le marché.

      Au prix de 4,50 €, la quantité q offerte sur le marché est solution de l'équation $f\left(q\right)=\mathrm{4,5}$. Soit : $$\mathrm{0,5}q=\mathrm{4,5}\iff q=9$$

      Avec un prix de vente de 4,50 €, les entreprises peuvent offrir neuf millions d'articles.

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   2. Calculer la quantité d'articles demandée sur le marché.

      Au prix de 4,50 €, la quantité q demandée sur le marché est solution de l'équation $g\left(q\right)=\mathrm{4,5}$. Soit : $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{78-6q}{q+8}}=\mathrm{4,5}& \iff & {\displaystyle \frac{78-6q}{q+8}}-\mathrm{4,5}=0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{78-6q-\mathrm{4,5}q-36}{q+8}}=0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{42-\mathrm{1,5}q}{q+8}}=0\hfill \\ & \text{Soit}& 42-\mathrm{1,5}q=0\iff q=4\hfill \end{array}$$

      Avec un prix de vente de 4,50 €, les consommateurs souhaitent acheter quatre millions d'articles.

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   3. Quel problème cela pose-t-il ?

      Au prix de 4,50 €, l'offre est excédentaire.

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3. On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité demandée.
   Déterminer le prix d'équilibre et la quantité associée.

   Le prix d'équilibre est atteint pour une quantité $q_0$ telle que $f\left(q_0\right)=g\left(q_0\right)$. Soit $q_0$ solution de l'équation : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,5}q={\displaystyle \frac{78-6q}{q+8}}& \iff & \mathrm{0,5}q-{\displaystyle \frac{78-6q}{q+8}}=0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}q\times \left(q+8\right)-\left(78-6q\right)}{q+8}}=0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}{q}^2+4q-78+6q}{q+8}}=0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}{q}^2+10q-78}{q+8}}=0\hfill \end{array}$$

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $\mathrm{0,5}{q}^2+10q-78=0$ avec $a=\mathrm{0,5}$, $b=10$ et $c=-78$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={10}^2-4\times \mathrm{0,5}\times \left(-78\right)=256\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& q_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& q_1={\displaystyle \frac{-10-16}{2\times \mathrm{0,5}}}=-26\\ \text{et}& q_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& q_2={\displaystyle \frac{-10+16}{2\times \mathrm{0,5}}}=6\end{array}$$

   Ainsi, au prix déquilibre, la quantité échangée sur le marché est de six millions d'articles A.

   Or $f\left(6\right)=\mathrm{0,5}\times 6=3$ ( ou bien $g\left(6\right)={\displaystyle \frac{78-6\times 6}{6+8}}=3$ )

   L'équilibre est atteint pour un prix de 3 €, à ce prix la quantité d'équilibre est de 6 millions d'articles A.

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